Quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas?
Justifique sua resposta.
Se x>y, então, x^{2}>x y.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação
“Se x>y, então x^2>xy
é verdadeira ou falsa. Vamos usar as propriedades de desigualdade ao multiplicar por um número, observando o sinal de x.

Passo 2

Suponha x>0. Como multiplicar por um número positivo preserva a desigualdade, ao multiplicar x>y por x>0 obtemos
x\cdot x > x\cdot y
ou seja
x^2 > xy.
Logo, para x>0 a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Suponha x<0. Nesse caso, multiplicar por x (número negativo) inverte a desigualdade. Partindo de x>y e multiplicando por x<0, vem
x^2 < xy.
Logo, para x<0 a afirmação é falsa.

Passo 4

Um contra-exemplo concreto: escolha x=-1 e y=-2. Então
-1 > -2,
porém
(-1)^2 = 1 \quad\text{e}\quad (-1)(-2)=2,
logo 1<2, o que contradiz a afirmação.

Resposta

A afirmação é falsa em geral. Ela só é verdadeira quando x>0; falha sempre que x\le0.

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