Quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas?
Justifique sua resposta.
Se x^{2} y<0, então, y<0.

Passo 1

O enunciado é a seguinte implicação: “se \,x^{2}y<0, então y<0”. O conteúdo aqui é análise de sinais e manipulação de inequações.

Passo 2

Lembre que para todo x\in\mathbb{R} vale \,x^2\ge0, com igualdade somente em x=0. Além disso, se um produto de dois reais a\cdot b<0, então a e b têm sinais opostos e nenhum deles é zero.

Passo 3

Na hipótese temos x^2y<0. Como o produto é negativo, nem x^2 nem y podem ser zero. Logo x^2\neq0, ou seja, x\neq0 e assim x^2>0.

Passo 4

Agora basta dividir a desigualdade x^2y<0 por x^2>0. Como dividimos por número positivo, a direção da desigualdade se mantém: y<0. Portanto, sempre que x^2y<0, necessariamente y<0.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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