Afirme sobre a convergéncia e, caso positivo encoutre a Soma.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos a sequência e precisamos determinar se essa sequência converge. Se convergir, também devemos encontrar a soma dela. Isso envolve o estudo de progressões geométricas, que são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência, que é . Agora, para encontrar a razão, observamos como cada termo se relaciona com o anterior. Tomando o segundo termo e dividindo pelo primeiro:
Então, a razão é .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência converge. Em uma progressão geométrica infinita, a série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Vamos calcular:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Com a confirmação de que a série converge, podemos calcular a soma infinita dessa progressão geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos na fórmula: