Afirme sobre a convergéncia e, caso positivo encoutre a Soma. -5/8 + 25/64 - 125/512 + ...

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos a sequência e precisamos determinar se essa sequência converge. Se convergir, também devemos encontrar a soma dela. Isso envolve o estudo de progressões geométricas, que são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão. Vamos precisar identificar o primeiro termo e a razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da sequência, que é . Agora, para encontrar a razão , observamos como cada termo se relaciona com o anterior. Tomando o segundo termo e dividindo pelo primeiro:
Então, a razão é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência converge. Em uma progressão geométrica infinita, a série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Vamos calcular:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Com a confirmação de que a série converge, podemos calcular a soma infinita dessa progressão geométrica. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos na fórmula:

Resposta

A série converge e a soma dela é .

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