Seja
(a) Encontre
.
(b)
existe?
© Esboce o gráfico de
.
(b)
© Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O conteúdo aqui envolve limites de funções por partes e análise gráfica. Para resolver isso, a gente vai precisar saber calcular limites laterais (da esquerda e da direita) e verificar se eles são iguais para determinar se o limite geral existe. Além disso, para o último item, vamos precisar entender como esboçar o gráfico de uma função definida por partes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Encontrar os limites à esquerda e à direita quando
se aproxima de 1.
Limite à Esquerda (
):
Quando
, a função é
. Para encontrar o limite à esquerda, substituímos
por 1 nessa expressão:
Limite à Direita (
):
Quando
, a função é
. Para encontrar o limite à direita, substituímos
por 1 nessa expressão:
Então, os limites são 2 pela esquerda e 1 pela direita.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Verificar se o limite
existe.
Para o limite geral existir, os limites laterais (à esquerda e à direita) devem ser iguais. No nosso caso, vimos que:
Como 2 é diferente de 1, os limites laterais não são iguais. Portanto:
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte ©: Esboçar o gráfico de
.
Para
: A função é
, que é uma parábola voltada para cima, deslocada 1 unidade para cima.
Para
: A função é
, que também é uma parábola voltada para cima, mas deslocada 2 unidades para a direita.
Ponto de Transição em
:
-
- A partir da esquerda, o limite é 2, mas o valor de
é 1.
Isso cria um salto no gráfico em
, onde a função “salta” de 2 para 1.
Passos para Esboçar:
- Desenhe a parábola
para . - Desenhe a parábola
para . - Indique que, em
, há um ponto aberto (já que o limite pela esquerda é 2) e um ponto fechado em (1,1).
Isso dará uma representação visual clara de como a função se comporta.
Resposta
(a)
e
.
(b) O limite
não existe.
© O gráfico de
consiste em duas parábolas:
para
e
para
, com um salto no ponto
.