Seja
f(x)= x^2+1 & se x<1 (x-2)^2 & se x >= 1
(a) Encontre lim x 1^- f(x) e lim x 1^+ f(x).
(b) lim x 1 f(x) existe?
© Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x)= x^2+1 & se x<1 (x-2)^2 & se x >= 1
O conteúdo aqui envolve limites de funções por partes e análise gráfica. Para resolver isso, a gente vai precisar saber calcular limites laterais (da esquerda e da direita) e verificar se eles são iguais para determinar se o limite geral existe. Além disso, para o último item, vamos precisar entender como esboçar o gráfico de uma função definida por partes.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Encontrar os limites à esquerda e à direita quando limx 1^- f(x) = limx 1^- (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 se aproxima de 1.
Limite à Esquerda ( limx 1^+ f(x) = limx 1^+ (x - 2)^2 = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1 ):
Quando , a função é . Para encontrar o limite à esquerda, substituímos por 1 nessa expressão:
Limite à Direita ( ):
Quando , a função é . Para encontrar o limite à direita, substituímos por 1 nessa expressão:
Então, os limites são 2 pela esquerda e 1 pela direita.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Verificar se o limite limx 1 f(x) não existe existe.
Para o limite geral existir, os limites laterais (à esquerda e à direita) devem ser iguais. No nosso caso, vimos que:
Como 2 é diferente de 1, os limites laterais não são iguais. Portanto:
ã

Passo 4

Finalmente, vamos para a parte ©: Esboçar o gráfico de .
Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima, deslocada 1 unidade para cima.
Para : A função é , que também é uma parábola voltada para cima, mas deslocada 2 unidades para a direita.
Ponto de Transição em :
  • A partir da esquerda, o limite é 2, mas o valor de é 1.
Isso cria um salto no gráfico em , onde a função “salta” de 2 para 1.
Passos para Esboçar:
  1. Desenhe a parábola para .
  2. Desenhe a parábola para .
  3. Indique que, em , há um ponto aberto (já que o limite pela esquerda é 2) e um ponto fechado em (1,1).
Isso dará uma representação visual clara de como a função se comporta.

Resposta

(a) e .
(b) O limite não existe.
© O gráfico de consiste em duas parábolas: para e para , com um salto no ponto .

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