Calcule o limite, se existir.
$\lim _{x \rightarrow 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16 x-x^{2}}
$\lim _{x \rightarrow 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16 x-x^{2}}
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema envolve o conceito de limites em Cálculo, especificamente utilizando técnicas de simplificação de expressões para resolver indeterminações. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica de forma a eliminar a forma indeterminada que aparece ao substituir diretamente
.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na expressão para verificar se o limite pode ser calculado diretamente:
Encontramos a forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela forma conjugada de
, que é
:
Essa técnica de multiplicar pelo conjugado ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador.
Passo 4
Agora, vamos resolver o numerador utilizando a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Observamos que
pode ser fatorado:
Substituindo na expressão:
Agora, podemos simplificar cancelando o fator
no numerador e denominador:
Passo 6
Com a expressão simplificada, agora podemos substituir
: