Calcule o limite, se existir.
$\lim _{x \rightarrow 16} \frac{4-\sqrt{x}}{16 x-x^{2}}

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema envolve o conceito de limites em Cálculo, especificamente utilizando técnicas de simplificação de expressões para resolver indeterminações. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica de forma a eliminar a forma indeterminada que aparece ao substituir diretamente .

Passo 2

Primeiro, substituímos na expressão para verificar se o limite pode ser calculado diretamente:
Encontramos a forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos o numerador e o denominador pela forma conjugada de , que é :
Essa técnica de multiplicar pelo conjugado ajuda a eliminar a raiz quadrada no numerador.

Passo 4

Agora, vamos resolver o numerador utilizando a identidade :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Observamos que pode ser fatorado:
Substituindo na expressão:
Agora, podemos simplificar cancelando o fator no numerador e denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir :

Resposta

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