Mostre que
sen^(-1) z = -i ln(i z +- raiz(1 - z^2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para mostrarmos que:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas inversas e logaritmos complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno inverso se relaciona com funções logarítmicas no contexto dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno pode ser expressa usando a fórmula de Euler:
Isso nos ajuda a conectar funções trigonométricas com exponenciais complexas.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a expressão para . Se , então precisamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o termo :

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática em termos de . Vamos resolver essa equação quadrática:
Isso usando a fórmula quadrática , onde , , e .

Passo 6

Agora que encontramos , podemos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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