Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado pede para mostrarmos que:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas inversas e logaritmos complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno inverso se relaciona com funções logarítmicas no contexto dos números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno pode ser expressa usando a fórmula de Euler:
Isso nos ajuda a conectar funções trigonométricas com exponenciais complexas.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a expressão para
. Se
, então precisamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o termo
:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática em termos de
. Vamos resolver essa equação quadrática:
Isso usando a fórmula quadrática
, onde
,
, e
.
Passo 6
Agora que encontramos
, podemos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que: