Afirme sobre a convergéncia e, caso positivo encoutre a Soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a série infinita converge e, se sim, encontrar sua soma. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica para descobrir a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar claramente a razão da série geométrica. A expressão dada é . Podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:
Então, a série original pode ser escrita como:
Passo 3
Agora que temos a série na forma , onde e , podemos verificar a condição de convergência para uma série geométrica. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Com a convergência confirmada, podemos calcular a soma da série usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a cdot r1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 112 cdot 341 - 34 = 34814 = 11614 = 116 times 4 = 14