(a) Encontre
.
(b)
existe?
© Esboce o gráfico de
.
(b)
© Esboce o gráfico de
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função definida por partes:
O conteúdo que vamos utilizar é sobre limites de funções, especialmente limites laterais. Vamos precisar entender como calcular o limite à esquerda (
) e à direita (
) da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Isso significa que estamos aproximando
de 1 vindo dos valores menores que 1, ou seja, usando a primeira parte da função:
.
Calculando o limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Aqui, estamos aproximando
de 1 vindo dos valores maiores ou iguais a 1, utilizando a segunda parte da função:
.
Calculando o limite:
Passo 4
Para determinar se
existe, precisamos verificar se os limites laterais são iguais. Já calculamos:
Como
, os limites laterais são diferentes, o que significa que o limite geral não existe.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
, vamos considerar as duas partes da função:
- Para
, a função é , que é uma parábola com vértice em . - Para
, a função é , que é outra parábola com vértice em .
No ponto
, temos que:
-
-
- Como os limites laterais são diferentes, há uma descontinuidade do tipo salto em
.
Resposta
(a)
e
.
(b) O limite
não existe.
© O gráfico de
consiste em duas parábolas:
para
e
para
, com uma descontinuidade de salto no ponto
.