f(x)= x^2+1 & se x<1 (x-2)^2 & se x >= 1
(a) Encontre lim x 1^- f(x) e lim x 1^+ f(x).
(b) lim x 1 f(x) existe?
© Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos uma função definida por partes:
f(x)= x^2+1 & se x<1 (x-2)^2 & se x >= 1
O conteúdo que vamos utilizar é sobre limites de funções, especialmente limites laterais. Vamos precisar entender como calcular o limite à esquerda ( x 1^-) e à direita ( x 1^+) da função f(x).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar lim x 1^- f(x). Isso significa que estamos aproximando x de 1 vindo dos valores menores que 1, ou seja, usando a primeira parte da função: f(x) = x^2 + 1.
Calculando o limite:
lim x 1^- f(x) = lim x 1^- (x^2 + 1) = (1)^2 + 1 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular lim x 1^+ f(x). Aqui, estamos aproximando x de 1 vindo dos valores maiores ou iguais a 1, utilizando a segunda parte da função: f(x) = (x - 2)^2.
Calculando o limite:
lim x 1^+ f(x) = lim x 1^+ (x - 2)^2 = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1

Passo 4

Para determinar se lim x 1 f(x) existe, precisamos verificar se os limites laterais são iguais. Já calculamos:
lim x 1^- f(x) = 2 e lim x 1^+ f(x) = 1
Como 2 neq 1, os limites laterais são diferentes, o que significa que o limite geral não existe.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de f, vamos considerar as duas partes da função:
  1. Para x < 1, a função é f(x) = x^2 + 1, que é uma parábola com vértice em (0,1).
  2. Para x >= 1, a função é f(x) = (x - 2)^2, que é outra parábola com vértice em (2,0).
No ponto x = 1, temos que:
  • f(1^-) = 2
  • f(1^+) = 1
  • Como os limites laterais são diferentes, há uma descontinuidade do tipo salto em x = 1.

Resposta

(a) lim x 1^- f(x) = 2 e lim x 1^+ f(x) = 1.
(b) O limite lim x 1 f(x) não existe.
© O gráfico de f consiste em duas parábolas: f(x) = x^2 + 1 para x < 1 e f(x) = (x - 2)^2 para x >= 1, com uma descontinuidade de salto no ponto x = 1.

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