Usando o teste da in Tegral a firme sobre a concergéncia. sumk=1^infty 3 k^2k^3+16

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Precisamos determinar se a série infinita sumk=1^infty 3 k^2k^3+16 converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste é uma ferramenta que ajuda a comparar a série com uma integral correspondente para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. No nosso caso, a função é:
f(k) = 3 k^2k^3+16
Queremos aplicar o Teste da Integral, então precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para todos os k a partir de algum valor inicial.

Passo 3

Vamos verificar se f(k) é positiva. Observando o numerador 3k^2 e o denominador k^3 + 16, percebemos que, para todo k >= 1, ambos são positivos. Portanto, f(k) > 0 para todo k >= 1.

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade de f(k). A função f(k) é uma fração de polinômios e o denominador k^3 + 16 nunca é zero para k >= 1. Assim, f(k) é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Em seguida, precisamos ver se f(k) é decrescente para k >= 1. Para isso, podemos calcular a derivada de f(k) em relação a k:
f'(k) = ddk ( 3k^2k^3 + 16 )
Aplicando a regra do quociente:
f'(k) = (6k)(k^3 + 16) - 3k^2(3k^2)(k^3 + 16)^2 = 6k^4 + 96k - 9k^4(k^3 + 16)^2 = -3k^4 + 96k(k^3 + 16)^2
Para k >= 4, o termo -3k^4 domina, tornando f'(k) < 0. Portanto, f(k) é decrescente para k >= 4.

Passo 6

Agora que verificamos que f(k) é positiva, contínua e decrescente para k >= 4, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral:
integral4^infty 3k^2k^3 + 16 , dk
Fazendo a substituição u = k^3 + 16, temos du = 3k^2 dk. Assim:
integral 3k^2k^3 + 16 , dk = integral 1u , du = ln|u| + C = ln(k^3 + 16) + C
Agora, avaliando o limite da integral:
limb to infty ln(b^3 + 16) - ln(4^3 + 16) = limb to infty ln(b^3 + 16) - ln(80)
Sabemos que ln(b^3 + 16) tende para infinito quando b tende para infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série sumk=1^infty 3 k^2k^3+16 também diverge.

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