Usando o teste da in Tegral a firme sobre a concergéncia.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Precisamos determinar se a série infinita
converge ou não. Para isso, vamos usar o Teste da Integral. Esse teste é uma ferramenta que ajuda a comparar a série com uma integral correspondente para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que representa o termo geral da série. No nosso caso, a função é:
Queremos aplicar o Teste da Integral, então precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para todos os
a partir de algum valor inicial.
Passo 3
Vamos verificar se
é positiva. Observando o numerador
e o denominador
, percebemos que, para todo
, ambos são positivos. Portanto,
para todo
.
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade de
. A função
é uma fração de polinômios e o denominador
nunca é zero para
. Assim,
é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Em seguida, precisamos ver se
é decrescente para
. Para isso, podemos calcular a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Para
, o termo
domina, tornando
. Portanto,
é decrescente para
.
Passo 6
Agora que verificamos que
é positiva, contínua e decrescente para
, podemos aplicar o Teste da Integral. Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, temos
. Assim:
Agora, avaliando o limite da integral:
Sabemos que
tende para infinito quando
tende para infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
Como a integral correspondente diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.