Afirme sobre a convergéncia e, caso positivo encoutre a Soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: a gente precisa dizer se a soma infinita
converge, ou seja, se ela chega a um valor específico quando somamos infinitamente, e se sim, descobrir qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo do anterior por uma constante. Precisamos identificar a razão da série e ver se ela atende aos critérios para convergir.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para identificar melhor a razão. A série dada é
. Isso pode ser escrito como
. Agora, fica mais claro que cada termo é
vezes o termo anterior.
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma série geométrica onde a razão
é
. Em séries geométricas da forma
, a série converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1.
Passo 4
Vamos verificar a condição de convergência. Temos
e
. Como o valor absoluto da razão é menor que 1, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma da série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em
é:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 6
Identificando
e
na nossa série:
- O primeiro termo quando
é , então . - A razão
.
Substituindo na fórmula:
Resposta
A série
converge e a soma dessa série é
.