Afirme sobre a convergéncia e, caso positivo encoutre a Soma. sumk=1^infty 5^-k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: a gente precisa dizer se a soma infinita converge, ou seja, se ela chega a um valor específico quando somamos infinitamente, e se sim, descobrir qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que são séries onde cada termo é um múltiplo do anterior por uma constante. Precisamos identificar a razão da série e ver se ela atende aos critérios para convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para identificar melhor a razão. A série dada é . Isso pode ser escrito como . Agora, fica mais claro que cada termo é vezes o termo anterior.

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma série geométrica onde a razão é . Em séries geométricas da forma , a série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1.

Passo 4

Vamos verificar a condição de convergência. Temos e . Como o valor absoluto da razão é menor que 1, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma da série geométrica infinita. A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa em S = ar1 - r é:
Onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 6

Identificando S = 151 - 15 = 1545 = 14 e na nossa série:
  • O primeiro termo quando é , então .
  • A razão .
Substituindo na fórmula:

Resposta

A série converge e a soma dessa série é .

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