Calcule o limite, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 2 da função
. Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de um ponto específico e usar um pouco de álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, a gente se depara com uma divisão por zero, o que é um indeterminado. Isso significa que não podemos simplesmente substituir o valor e obter o resultado. Então, precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma expressão onde o denominador tende a zero, uma boa técnica é analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 2 por valores maiores e menores que 2. Isso nos ajuda a entender se o limite tende para mais infinito, menos infinito ou se ele não existe.
Vamos ver o que acontece:
-
Quando
se aproxima de 2 pela direita (ou seja, valores maiores que 2): O denominadorserá positivo e muito pequeno, já que está bem próximo de 2. O numerador, como vimos, tende a 8, que é positivo. Então, temos uma divisão de um número positivo por um número positivo que se aproxima de zero, o que faz com que o resultado tenda para . -
Quando
se aproxima de 2 pela esquerda (ou seja, valores menores que 2): Agora, o denominadorserá negativo e muito pequeno, pois está logo abaixo de 2. O numerador ainda tende a 8, que é positivo. Então, temos uma divisão de um número positivo por um número negativo que se aproxima de zero, fazendo com que o resultado tenda para .
Passo 4
Como os limites laterais são diferentes—
pela direita e
pela esquerda—isso significa que o limite geral não existe. Em outras palavras, a função não se aproxima de um único valor quando
se aproxima de 2.
Resposta
O limite
não existe.