Calcule a derivada das seguintes funções.
(a) g(x)=integral1^x 1t^beta+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de qual parte do Teorema Fundamental do Cálculo precisamos. O teorema nos diz que se tivermos uma função definida por uma integral com limite superior variável, como , então a derivada dessa função em relação a é simplesmente a própria função dentro da integral avaliada em . Ou seja, .

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é . Aplicando o teorema, a derivada de em relação a será essa função avaliada em .

Passo 4

Então, substituindo g'(x) = 1x^beta + 1 por na função , temos:

Resposta

A derivada da função é .

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