Calcule a integral.
(f) integral t sec ^2(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e as derivadas e integrais das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos usar na integração por partes. A fórmula para integração por partes é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, escolhemos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = dt e v = integral sec^2(2t) , dt = 12 tan(2t) + C .
Derivando :
Integrando :
Sabemos que .
Então,

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral t sec^2(2t) , dt = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= t cdot ( 12 tan(2t) ) - integral ( 12 tan(2t) ) dt

Passo 5

Agora, vamos simplificar:
= t2 tan(2t) - 12 integral tan(2t) , dt
Para resolver integral tan(ax) , dx = -1a ln|cos(ax)| + C , lembramos que:
integral tan(2t) , dt = -12 ln|cos(2t)| + C
Então,

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
= t2 tan(2t) - 12 ( -12 ln|cos(2t)| ) + C
Simplificando os sinais:
= t2 tan(2t) + 14 ln|cos(2t)| + C

Resposta

A integral é igual a .

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