Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em flla única. Suponha que o atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2 atende o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim sucessivamente.
a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila?
b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo cliente?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila?
  • (b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo cliente?
Informações fornecidas:
  • Existem 5 caixas que atendem simultaneamente uma fila única.
  • O atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos.
  • No início (tempo zero) o caixa 1 atende o cliente 1, o caixa 2 atende o cliente 2, o caixa 3 atende o cliente 3, o caixa 4 atende o cliente 4 e o caixa 5 atende o cliente 5.
  • Depois disso, cada caixa, ao terminar um atendimento, pega o próximo cliente disponível na fila — na prática, a distribuição segue um padrão cíclico a cada 5 clientes.

Passo 2

Entendendo o padrão de atendimento (ideia principal, explicada passo a passo):
  • Os clientes são distribuídos em blocos de 5: no primeiro bloco (clientes 1 a 5) os caixas 1 a 5 atendem respectivamente; no segundo bloco (clientes 6 a 10) novamente os caixas 1 a 5 atendem respectivamente; e assim por diante.
  • Portanto, a cada incremento de 5 no número do cliente, repete-se a mesma sequência de caixas. Isso é um problema clássico de resto na divisão inteira: para saber qual caixa atende o cliente n usamos o resto da divisão de n por 5, com um ajuste para que o resto 0 signifique o caixa 5.
Forma prática (fórmula simples):
  • Uma maneira direta é usar a fórmula
\text{caixa} = \bigl((n-1) \bmod 5\bigr) + 1,
onde n é o número do cliente e \bmod significa “resto da divisão inteira por 5”. Essa fórmula desloca a numeração para que n=1 dê caixa 1, n=2 dê caixa 2, e assim por diante.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao cliente n=68:
68-1=67.
Agora escrevemos 67 como múltiplo de 5 mais resto:
67 = 5\cdot 13 + 2.
Logo o resto da divisão de 67 por 5 é 2. Pela fórmula,
\text{caixa} = 2 + 1 = 3.
Portanto o sexagésimo oitavo cliente será atendido no caixa 3.

Passo 4

Agora vamos calcular quando começa o atendimento desse cliente (tempo desde a abertura).
Primeiro raciocínio (usando a sequência atendida por um caixa):
  • O caixa 3 atende os clientes de número
3,\\\ 8,\\\ 13,\\\ 18,\\ \dots
essa é uma progressão aritmética com termo geral
a_k = 3 + 5k,\quad k=0,1,2,\dots
Queremos a_k = 68. Então
3 + 5k = 68 \quad\Rightarrow\quad 5k = 65 \quad\Rightarrow\quad k = 13.
  • O valor k=13 significa que o cliente 68 é o (k+1)-ésimo atendimento do caixa 3. O primeiro atendimento desse caixa começa no tempo 0 (início), o segundo começa aos 3 minutos, o terceiro aos 6 minutos, e assim por diante.
  • Em geral, o início do j-ésimo atendimento de um caixa ocorre no tempo (j-1)\cdot 3 minutos após a abertura. Aqui j = k+1 = 14, portanto o início ocorre em
(14-1)\cdot 3 = 13\cdot 3 = 39\\ \text{minutos}.

Passo 5

Método alternativo (mais curto, para checar):
  • Divida 68 por 5: 68 = 5\cdot 13 + 3. O quociente 13 indica que já completaram 13 blocos inteiros de 5 clientes (cada bloco leva 3 minutos), e o resto 3 indica que o cliente está na posição 3 do bloco seguinte — ou seja, é atendido pelo caixa 3.
  • O bloco onde está o cliente 68 é o bloco número 13+1 = 14. O atendimento desse bloco começa aos (14-1)\cdot 3 = 39 minutos da abertura.
    Ambos os métodos dão o mesmo resultado: início aos 39 minutos.

Resposta

Caixa 3
39 minutos

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