Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em flla única. Suponha que o atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2 atende o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim sucessivamente.
a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila?
b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo cliente?
a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila?
b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo cliente?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila?
- (b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo cliente?
Informações fornecidas:
- Existem
caixas que atendem simultaneamente uma fila única. - O atendimento de cada cliente demora exatamente
minutos. - No início (tempo zero) o caixa
atende o cliente , o caixa atende o cliente , o caixa atende o cliente , o caixa atende o cliente e o caixa atende o cliente . - Depois disso, cada caixa, ao terminar um atendimento, pega o próximo cliente disponível na fila — na prática, a distribuição segue um padrão cíclico a cada
clientes.
Passo 2
Entendendo o padrão de atendimento (ideia principal, explicada passo a passo):
- Os clientes são distribuídos em blocos de
: no primeiro bloco (clientes a ) os caixas a atendem respectivamente; no segundo bloco (clientes a ) novamente os caixas a atendem respectivamente; e assim por diante. - Portanto, a cada incremento de
no número do cliente, repete-se a mesma sequência de caixas. Isso é um problema clássico de resto na divisão inteira: para saber qual caixa atende o cliente usamos o resto da divisão de por , com um ajuste para que o resto signifique o caixa .
Forma prática (fórmula simples):
- Uma maneira direta é usar a fórmula
onde
é o número do cliente e
significa “resto da divisão inteira por
”. Essa fórmula desloca a numeração para que
dê caixa
,
dê caixa
, e assim por diante.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao cliente
:
Agora escrevemos
como múltiplo de
mais resto:
Logo o resto da divisão de
por
é
. Pela fórmula,
Portanto o sexagésimo oitavo cliente será atendido no caixa
.
Passo 4
Agora vamos calcular quando começa o atendimento desse cliente (tempo desde a abertura).
Primeiro raciocínio (usando a sequência atendida por um caixa):
Primeiro raciocínio (usando a sequência atendida por um caixa):
- O caixa
atende os clientes de número
essa é uma progressão aritmética com termo geral
Queremos
. Então
- O valor
significa que o cliente é o -ésimo atendimento do caixa . O primeiro atendimento desse caixa começa no tempo (início), o segundo começa aos minutos, o terceiro aos minutos, e assim por diante. - Em geral, o início do
-ésimo atendimento de um caixa ocorre no tempo minutos após a abertura. Aqui , portanto o início ocorre em
Passo 5
Método alternativo (mais curto, para checar):
- Divida
por : . O quociente indica que já completaram blocos inteiros de clientes (cada bloco leva minutos), e o resto indica que o cliente está na posição do bloco seguinte — ou seja, é atendido pelo caixa . - O bloco onde está o cliente
é o bloco número . O atendimento desse bloco começa aos minutos da abertura.
Ambos os métodos dão o mesmo resultado: início aosminutos.
Resposta
Caixa
minutos