(CN)Qual é o total de números naturais em que o resto é o quadrado do quociente na divisão por 26?
a) Zero
b) Dois
c) Seis
d) Treze
e) Vinte e cinco

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números naturais n satisfazem que, ao dividir n por 26, o resto é igual ao quadrado do quociente.
Informações dadas e o que aparece no enunciado:
  • Divisor: 26.
  • Para cada n existe um quociente inteiro q e um resto r (da divisão por 26).
  • Condição exigida: r = q^{2}.
  • Queremos o total de números naturais n que satisfazem essa condição.

Passo 2

Lembrete sobre a divisão euclidiana (a parte teórica que usamos): para qualquer número natural n existem inteiros q\ge 0 e r tais que
n = 26q + r
com a restrição do resto
0 \le r \le 25.
Aqui q é o quociente da divisão de n por 26 e r é o resto. Essa forma é única para cada n.

Passo 3

Agora aplicamos a condição do enunciado r = q^{2}. Substituindo na desigualdade do resto obtemos
0 \le q^{2} \le 25.
Isso porque o resto deve ser um inteiro entre 0 e 25 inclusive, e ele é igual a q^{2}.

Passo 4

Resolver a desigualdade q^{2} \le 25 para quocientes inteiros não-negativos. Os quadrados inteiros crescem como 0^{2}=0, 1^{2}=1, 2^{2}=4, 3^{2}=9, 4^{2}=16, 5^{2}=25, 6^{2}=36 (já maior que 25). Portanto os valores inteiros possíveis de q são
q \in \{0,1,2,3,4,5\}.
Há exatamente 6 valores possíveis de q.

Passo 5

Para cada q desses, existe um único n dado por
n = 26q + q^{2}.
Vamos escrever esses n explicitamente (para ficar claro que são realmente números naturais distintos):
  • Para q=0: n = 26\cdot 0 + 0^{2} = 0.
  • Para q=1: n = 26\cdot 1 + 1^{2} = 27.
  • Para q=2: n = 26\cdot 2 + 2^{2} = 56.
  • Para q=3: n = 26\cdot 3 + 3^{2} = 87.
  • Para q=4: n = 26\cdot 4 + 4^{2} = 120.
  • Para q=5: n = 26\cdot 5 + 5^{2} = 155.
Cada um desses n ao ser dividido por 26 tem quociente q e resto q^{2}, e não há outros q possíveis porque q^{2} sairia maior que 25.

Passo 6

Concluímos que existem exatamente 6 números naturais que satisfazem a condição pedida (são os listados acima). Isso corresponde à alternativa correspondente nas opções.

Resposta

c) Seis

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