(CN)Qual é o total de números naturais em que o resto é o quadrado do quociente na divisão por 26?
a) Zero
b) Dois
c) Seis
d) Treze
e) Vinte e cinco
a) Zero
b) Dois
c) Seis
d) Treze
e) Vinte e cinco
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números naturais
satisfazem que, ao dividir
por
, o resto é igual ao quadrado do quociente.
Informações dadas e o que aparece no enunciado:
Informações dadas e o que aparece no enunciado:
- Divisor:
. - Para cada
existe um quociente inteiro e um resto (da divisão por ). - Condição exigida:
. - Queremos o total de números naturais
que satisfazem essa condição.
Passo 2
Lembrete sobre a divisão euclidiana (a parte teórica que usamos): para qualquer número natural
existem inteiros
e
tais que
com a restrição do resto
Aqui
é o quociente da divisão de
por
e
é o resto. Essa forma é única para cada
.
Passo 3
Agora aplicamos a condição do enunciado
. Substituindo na desigualdade do resto obtemos
Isso porque o resto deve ser um inteiro entre
e
inclusive, e ele é igual a
.
Passo 4
Resolver a desigualdade
para quocientes inteiros não-negativos. Os quadrados inteiros crescem como
,
,
,
,
,
,
(já maior que
). Portanto os valores inteiros possíveis de
são
Há exatamente
valores possíveis de
.
Passo 5
Para cada
desses, existe um único
dado por
Vamos escrever esses
explicitamente (para ficar claro que são realmente números naturais distintos):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Cada um desses
ao ser dividido por
tem quociente
e resto
, e não há outros
possíveis porque
sairia maior que
.
Passo 6
Concluímos que existem exatamente
números naturais que satisfazem a condição pedida (são os listados acima). Isso corresponde à alternativa correspondente nas opções.
Resposta
c) Seis