O diretor de recursos humanos de uma empresa deseja estimar a idade média de todos os candidatos a uma vaga de emprego. Em uma amostra aleatória de 20 candidatos, a idade média encontrada é de 22,9 anos. Construa um intervalo de confiança de para a média da populaçāo, tendo por base as duas situaçőes abaixo apresentadas. Compare os resultados. Baseado nos dados obtidos da amostra aleatória, em que o desvio padrão da população é desconhecido, o desvio padrāo da amostra é 1,5 anos e as idades sāo aproximadamente normalmente distribuidas.
5. Um fabricante de máquinas de cortar grama está tentando determinar o desvio padrăo da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrāo da amostra é 3,25 anos. Suponha que a amostra tenha sido retirada de uma populaçăo normalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um diretor de RH que quer saber qual é a idade média dos candidatos a uma vaga de emprego. Ele pegou uma amostra aleatória de 20 pessoas e encontrou uma média de 22,9 anos. Além disso, o desvio padrão da amostra é 1,5 anos, mas não sabemos o desvio padrão da população inteira. As idades seguem uma distribuição normal. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para a média da população usando esses dados.
Passo 2
Primeiro, como o desvio padrão da população é desconhecido e a amostra é pequena (n = 20), vamos usar a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
é a média da amostra (22,9 anos)
é o valor crítico da t para 90% de confiança e graus de liberdade
é o desvio padrão da amostra (1,5 anos)
é o tamanho da amostra (20)
Passo 3
Vamos encontrar o valor de . Para um intervalo de confiança de 90%, , então . Com graus de liberdade, consultando a tabela t, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o erro padrão ():
Passo 5
Multiplicando o valor crítico pela erro padrão:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda situação apresentada.
Um fabricante quer determinar o desvio padrão da vida útil das suas máquinas de cortar grama. Ele selecionou 12 máquinas e encontrou um desvio padrão da amostra de 3,25 anos. Assumindo que a população segue uma distribuição normal, queremos construir um intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão da população.
Passo 8
Para estimar o desvio padrão da população quando a amostra é pequena e a população é normal, usamos a distribuição qui-quadrado (). A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
n é o tamanho da amostra (12)
s é o desvio padrão da amostra (3,25 anos)
chi^2alpha2 e chi^21-alpha2 são os valores críticos da distribuição chi^2 para 90% de confiança e n-1 graus de liberdade.
Passo 9
Calculando os graus de liberdade: df = n - 1 = 11.
Consultando a tabela chi^2 para df = 11 e alpha = 0,10: