O diretor de recursos humanos de uma empresa deseja estimar a idade média de todos os candidatos a uma vaga de emprego. Em uma amostra aleatória de 20 candidatos, a idade média encontrada é de 22,9 anos. Construa um intervalo de confiança de 90 % para a média da populaçāo, tendo por base as duas situaçőes abaixo apresentadas. Compare os resultados. Baseado nos dados obtidos da amostra aleatória, em que o desvio padrão da população é desconhecido, o desvio padrāo da amostra é 1,5 anos e as idades sāo aproximadamente normalmente distribuidas.
5. Um fabricante de máquinas de cortar grama está tentando determinar o desvio padrăo da vida de um de seus modelos de máquinas. Para fazê-lo, ele seleciona aleatoriamente 12 máquinas que foram vendidas anos atrás e descobre que o desvio padrāo da amostra é 3,25 anos. Suponha que a amostra tenha sido retirada de uma populaçăo normalmente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um diretor de RH que quer saber qual é a idade média dos candidatos a uma vaga de emprego. Ele pegou uma amostra aleatória de 20 pessoas e encontrou uma média de 22,9 anos. Além disso, o desvio padrão da amostra é 1,5 anos, mas não sabemos o desvio padrão da população inteira. As idades seguem uma distribuição normal. Nosso objetivo é construir um intervalo de confiança de 90% para a média da população usando esses dados.

Passo 2

Primeiro, como o desvio padrão da população é desconhecido e a amostra é pequena (n = 20), vamos usar a distribuição t de Student. A fórmula para o intervalo de confiança é:
barx pm talpha2 times (sraizn)
Onde:
  • barx é a média da amostra (22,9 anos)
  • talpha2 é o valor crítico da t para 90% de confiança e n-1 graus de liberdade
  • s é o desvio padrão da amostra (1,5 anos)
  • n é o tamanho da amostra (20)

Passo 3

Vamos encontrar o valor de talpha2. Para um intervalo de confiança de 90%, alpha = 0,10, então alpha2 = 0,05. Com n-1 = 19 graus de liberdade, consultando a tabela t, temos:
t0,05, 19 approx 1,729

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão ( SE):
SE = sraizn = 1,5raiz20 approx 1,54,472 approx 0,335

Passo 5

Multiplicando o valor crítico pela erro padrão:
1,729 times 0,335 approx 0,58

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
22,9 - 0,58 <= mu <= 22,9 + 0,58
22,32 <= mu <= 23,48

Passo 7

Agora, vamos para a segunda situação apresentada.
Um fabricante quer determinar o desvio padrão da vida útil das suas máquinas de cortar grama. Ele selecionou 12 máquinas e encontrou um desvio padrão da amostra de 3,25 anos. Assumindo que a população segue uma distribuição normal, queremos construir um intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão da população.

Passo 8

Para estimar o desvio padrão da população quando a amostra é pequena e a população é normal, usamos a distribuição qui-quadrado ( chi^2). A fórmula para o intervalo de confiança é:
raiz(n-1)s^2chi^2alpha2 <= sigma <= raiz(n-1)s^2chi^21-alpha2
Onde:
  • n é o tamanho da amostra (12)
  • s é o desvio padrão da amostra (3,25 anos)
  • chi^2alpha2 e chi^21-alpha2 são os valores críticos da distribuição chi^2 para 90% de confiança e n-1 graus de liberdade.

Passo 9

Calculando os graus de liberdade: df = n - 1 = 11.
Consultando a tabela chi^2 para df = 11 e alpha = 0,10:
  • chi^20,05, 11 approx 19,675
  • chi^20,95, 11 approx 3,816

Passo 10

Agora, calculamos os limites do intervalo:
raiz(12-1)(3,25)^219,675 <= sigma <= raiz(12-1)(3,25)^23,816
Primeiro, calculando o numerador:
(11)(10,5625) = 116,1875
Calculando o limite inferior:
raiz116,187519,675 approx raiz5,898 approx 2,43 anos
Calculando o limite superior:
raiz116,18753,816 approx raiz30,43 approx 5,52 anos

Resposta

  1. Intervalo de confiança de 90% para a média da população:
22,32 <= mu <= 23,48 anos
  1. Intervalo de confiança de 90% para o desvio padrão da população:
2,43 <= sigma <= 5,52 anos

Exercícios relacionados