Um novo produto para detectar a hepatite está para ser lançado no mercado. O laboratório ainda não tem certeza da eficácia do teste. Antes de lançar o produto testou-o com um grupo de pessoas para estudar as probabilidades de ter resultados corretos e incorretos (falso positivo e falso negativo). No grupo há 10 % de pessoas realmente doentes. Sabe-se que a probabilidade de o teste dar positivo quando a pessoa está doente é de 99% e a probabilidade de dar negativo quando a pessoa não está doente é de 90%. A partir dessas informações:
Se der positivo qual a probabilidade de a pessoa estar doente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a eficácia de um teste para detectar hepatite. A gente precisa descobrir, se uma pessoa teve o teste positivo, qual a chance dela realmente estar doente. Vamos usar probabilidade condicional para resolver isso. Precisamos entender as probabilidades de alguém estar doente, de o teste dar positivo se a pessoa está doente, e de dar negativo se a pessoa não está doente.

Passo 2

Primeiro, vamos listar o que a gente sabe:
  • A probabilidade de uma pessoa estar doente, $ P(D) $, é de 10%, ou seja, $ P(D) = 0,10 $.
  • A probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está doente, $ P(T^+|D) $, é de 99%, ou seja, $ P(T^+|D) = 0,99 $.
  • A probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está doente, $ P(T^-|\neg D) $, é de 90%, ou seja, $ P(T^-|\neg D) = 0,90 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ P(T^+|\neg D) $, que é a probabilidade do teste dar positivo quando a pessoa não está doente. Sabemos que $ P(T^-|\neg D) = 0,90 $, então:
P(T^+|neg D)

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de a pessoa estar doente dado que o teste deu positivo, $ P(D|T^+) $, usamos o Teorema de Bayes:
P(D|T^+)
Precisamos calcular $ P(T^+) $, que é a probabilidade total do teste dar positivo. Isso inclui pessoas doentes e não doentes.

Passo 5

Calculando $ P(T^+) $:
P(T^+)
Sabemos que $ P(D) = 0,10 $ e $ P(\neg D) = 1 - P(D) = 0,90 $, então:
P(T^+) = P(T^+|D) cdot P(D) + P(T^+|neg D) cdot P(neg D)

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Bayes:
P(D|T^+) = 0,99 cdot 0,100,189 = 0,0990,189 approx 0,5238

Resposta

A probabilidade de a pessoa estar doente, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 52,38%.

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