Um novo produto para detectar a hepatite está para ser lançado no mercado. O laboratório ainda não tem certeza da eficácia do teste. Antes de lançar o produto testou-o com um grupo de pessoas para estudar as probabilidades de ter resultados corretos e incorretos (falso positivo e falso negativo). No grupo há
de pessoas realmente doentes. Sabe-se que a probabilidade de o teste dar positivo quando a pessoa está doente é de 99% e a probabilidade de dar negativo quando a pessoa não está doente é de 90%. A partir dessas informações:
Se der positivo qual a probabilidade de a pessoa estar doente?
Se der positivo qual a probabilidade de a pessoa estar doente?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a eficácia de um teste para detectar hepatite. A gente precisa descobrir, se uma pessoa teve o teste positivo, qual a chance dela realmente estar doente. Vamos usar probabilidade condicional para resolver isso. Precisamos entender as probabilidades de alguém estar doente, de o teste dar positivo se a pessoa está doente, e de dar negativo se a pessoa não está doente.
Passo 2
Primeiro, vamos listar o que a gente sabe:
- A probabilidade de uma pessoa estar doente, $ P(D) $, é de 10%, ou seja, $ P(D) = 0,10 $.
- A probabilidade do teste dar positivo se a pessoa está doente, $ P(T^+|D) $, é de 99%, ou seja, $ P(T^+|D) = 0,99 $.
- A probabilidade do teste dar negativo se a pessoa não está doente, $ P(T^-|\neg D) $, é de 90%, ou seja, $ P(T^-|\neg D) = 0,90 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ P(T^+|\neg D) $, que é a probabilidade do teste dar positivo quando a pessoa não está doente. Sabemos que $ P(T^-|\neg D) = 0,90 $, então:
Passo 4
Para encontrar a probabilidade de a pessoa estar doente dado que o teste deu positivo, $ P(D|T^+) $, usamos o Teorema de Bayes:
Precisamos calcular $ P(T^+) $, que é a probabilidade total do teste dar positivo. Isso inclui pessoas doentes e não doentes.
Passo 5
Calculando $ P(T^+) $:
Sabemos que $ P(D) = 0,10 $ e $ P(\neg D) = 1 - P(D) = 0,90 $, então:
Passo 6
Agora, substituindo na fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de a pessoa estar doente, dado que o teste deu positivo, é de aproximadamente 52,38%.