Uma agência de correios possui apenas selos de 14 centavos e de 21 centavos. Determine as combinações desses selos que podem ser feitas para postar cartas dos seguintes valores postais (em reais):
3,50

Passo 1

O enunciado diz que só existem selos de 14 centavos e de 21 centavos e pede todas as formas de obter 3,50 reais de postagem. Como 3,50 reais são 350 centavos, vamos modelar isso por uma equação diofantina linear em inteiros não negativos.

Passo 2

Sejam x o número de selos de 14 centavos e y o número de selos de 21 centavos. A soma deve dar 350 centavos, isto é, precisamos resolver
14x + 21y = 350

Passo 3

Calculamos gcd(14,21)=7. Como 7 divide 350, há solução. Dividindo tudo por 7, obtemos a equação equivalente
2x + 3y = 50

Passo 4

Para achar uma solução particular, tomamos y0 = 0. Então 2x0 = 50 leva a x0 = 25. Logo um ponto inicial é
(x0,y0) = (25,0)

Passo 5

A solução geral de 2x+3y=50 é dada por
x = x0 - 3k = 25 - 3k, y = y0 + 2k = 0 + 2k,
onde k é um número inteiro.

Passo 6

Impondo x>=0 e y>=0 temos
25 - 3k >= 0 Longrightarrow k <= tfrac253approx8,33,
2k >= 0 Longrightarrow k >= 0
Portanto k = 0,1,2,dots,8.

Passo 7

Substituindo cada valor de k de 0 a 8 na fórmula geral, obtemos as combinações (x,y):
k =0: (25,0)
k =1: (22,2)
k =2: (19,4)
k =3: (16,6)
k =4: (13,8)
k =5: (10,10)
k =6: (7,12)
k =7: (4,14)
k =8: (1,16)

Resposta

As combinações de selos de 14 centavos ( x) e de 21 centavos ( y) para totalizar 3,50 reais são:
(25,0), (22,2), (19,4), (16,6), (13,8), (10,10), (7,12), (4,14), (1,16).

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