(Problema proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 escudos por boi e sabe-se que todos os cavalos custaram 7 escudos a mais do que todos os bois. Quantos cavalos e quantos bois foram comprados?

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa comprou cavalos e bois, pagando 31 escudos por cada cavalo e 20 escudos por cada boi, e que o total gasto em cavalos foi 7 escudos a mais do que o total gasto em bois.
Conteúdo: equação diofantina linear. Vamos definir variáveis para o número de animais e montar a equação correspondente.

Passo 2

Definimos
x = número de cavalos,
y = número de bois.
Como o gasto com cavalos excede o gasto com bois em 7 escudos, temos a equação
31x - 20y = 7

Passo 3

Para resolver a equação diofantina
31x - 20y = 7
observamos que gcd(31,20)=1, logo há solução inteira única módulo ;20 para x. Reescrevendo em módulo 20:
31x equiv 7 pmod20 ;Longrightarrow; 11x equiv 7 pmod20,
pois 31equiv11pmod20.

Passo 4

Encontramos o inverso de 11 módulo 20. Como
11cdot11 = 121 equiv 1 pmod20,
o inverso de 11 é 11. Multiplicando a congruência por 11:
x equiv 7cdot11 = 77 equiv 17 pmod20
Logo a solução geral para x é
x = 20k + 17, kinZ

Passo 5

Para cada x=20k+17, obtemos y da própria equação original:
20y = 31x - 7 ;Longrightarrow; y = 31(20k+17)-720 = 31k + 26
Assim a solução inteira geral é
x = 20k + 17, y = 31k + 26, kinZ
Como x,y devem ser não negativos, tomamos o menor k>=0, ou seja k=0.

Resposta

Foram comprados 17 cavalos e 26 bois.

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