(Problema proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 escudos por boi e sabe-se que todos os cavalos custaram 7 escudos a mais do que todos os bois. Quantos cavalos e quantos bois foram comprados?
Passo 1
O enunciado diz que uma pessoa comprou cavalos e bois, pagando
escudos por cada cavalo e
escudos por cada boi, e que o total gasto em cavalos foi
escudos a mais do que o total gasto em bois.
Conteúdo: equação diofantina linear. Vamos definir variáveis para o número de animais e montar a equação correspondente.
Conteúdo: equação diofantina linear. Vamos definir variáveis para o número de animais e montar a equação correspondente.
Passo 2
Definimos
número de cavalos,
número de bois.
Como o gasto com cavalos excede o gasto com bois em escudos, temos a equação
Como o gasto com cavalos excede o gasto com bois em
Passo 3
Para resolver a equação diofantina
observamos que
, logo há solução inteira única módulo
para
. Reescrevendo em módulo
:
pois
.
Passo 4
Encontramos o inverso de
módulo
. Como
o inverso de
é
. Multiplicando a congruência por
:
Logo a solução geral para
é
Passo 5
Para cada
, obtemos
da própria equação original:
Assim a solução inteira geral é
Como
devem ser não negativos, tomamos o menor
, ou seja
.
Resposta
Foram comprados
cavalos e
bois.