Na Russia a moeda se chama rublo. Existem notas de 1,3 e 5 rublos. Mostre que não é possível pagar 25 rublos com exatamente 10 notas com os valores citados.

Passo 1

O enunciado quer saber se existem números inteiros não negativos (x,y,z) tais que x notas de 1 rublo, y notas de 3 rublos e z notas de 5 rublos somem exatamente 25 rublos usando exatamente 10 notas ao todo. O conteúdo é resolução de sistema diofantino linear em três variáveis.

Passo 2

Traduzimos em equações:
x + y + z = 10, 1cdot x + 3cdot y + 5cdot z = 25

Passo 3

Da primeira equação temos x = 10 - y - z. Substituindo na segunda:
(10 - y - z) + 3y + 5z = 25
Organizando termos,
10 + 2y + 4z = 25 Longrightarrow 2y + 4z = 15

Passo 4

O lado esquerdo 2y + 4z = 2(y + 2z) é múltiplo de 2, portanto é um número par. Já o lado direito é 15, que é ímpar. Assim a igualdade
2(y + 2z) = 15
não pode ocorrer em inteiros.

Resposta

Não existem inteiros não negativos (x,y,z) que satisfaçam as condições; logo não é possível pagar 25 rublos com exatamente 10 notas de 1, 3 e 5 rublos.

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