Encontre as solu»c oes inteiras do sistema de equações lineares
2 x+3 y+2 z & =13 x-z & =1
Sugestão: Primeiramente, passe os sistemas para uma forma escalonada, mantendo os coeficientes inteiros.

Passo 1

O enunciado pede as soluções inteiras do sistema
2x + 3y + 2z = 13, x - z = 1
O conteúdo é resolução de sistema subdeterminado e depois resolver a equação diofantina para garantir que x,y,zinZ. Vamos usar eliminação para chegar a uma equação em y e z, depois introduzir um parâmetro inteiro.

Passo 2

Multiplicamos a segunda equação por 2 e subtraímos da primeira para eliminar x:
2,(x - z) = 2;Longrightarrow;2x - 2z = 2,
(2x + 3y + 2z) - (2x - 2z) = 13 - 2 ;Longrightarrow; 3y + 4z = 11

Passo 3

Temos agora a equação diofantina
3y + 4z = 11
Para encontrar uma solução particular, note que se z=2 então
3y = 11 - 4cdot 2 = 3 ;Longrightarrow; y = 1
Logo (y0,z0)=(1,2) é uma solução. A solução geral da homogênea 3y + 4z = 0 é
y' = 4t, z' = -3t, tinZ
Somando, a solução geral é
y = 1 + 4t, z = 2 - 3t, tinZ

Passo 4

Voltando à segunda equação x - z = 1, obtemos
x = 1 + z = 1 + (2 - 3t) = 3 - 3t
Logo a solução geral inteira do sistema é
x = 3 - 3t, y = 1 + 4t, z = 2 - 3t, tinZ

Resposta

(x,y,z) = (,3 - 3t,;1 + 4t,;2 - 3t,), tinZ

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