A Agência de Proteção Ambiental (EPA) americana exige que as chaminés das fábricas que queimam combustível rico em enxofre sejam altas o bastante para permitir que os poluentes se dissipem em uma área maior. Suponha que a altura média das chaminés nessas fábricas seja de 100 metros (uma altura aceitável pela EPA), com desvio padrão de 12 metros. Obtém-se uma amostra aleatória de 40 chaminés. Admita que esta quantidade de chaminés ponha a distribuição em questão em condições de se aplicar o Teorema Central do Limite sem o processo de limite.
(a) Qual é a probabilidade de que a altura amostral média para essas 40 chaminés seja maior do que 102 metros?
(b) Qual é a probabilidade de que altura amostral média esteja entre 101 e 103 metros?
(c) Suponha que a média amostral seja 98,5 metros. Há alguma evidência que sugira que a verdadeira altura média das chaminés seja inferior a 100 metros? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado fornece estas informações (lista do que foi dado e o que é pedido):
Altura média populacional presumida: \mu=100 metros.
Desvio padrão populacional: \sigma=12 metros.
Tamanho da amostra: n=40.
Afirma-se que o Teorema Central do Limite pode ser aplicado para a média amostral dada essa n.
As perguntas pedidas:
(a) Calcular \Pr\big(\overline{X}>102\big), onde \overline{X} é a média das alturas das 40 chaminés amostradas.
(b) Calcular \Pr\big(101<\overline{X}<103\big).
(c) Se a média amostral observada for \overline{x}=98,5 metros, verificar se há evidência de que a verdadeira média populacional seja menor que 100 metros (ou seja, testar se \mu<100). Justificar a conclusão.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática do que é a distribuição da média amostral).
Pelo Teorema Central do Limite, para amostras grandes a distribuição da média amostral \overline{X} é aproximadamente normal com média igual à média populacional e desvio padrão igual ao desvio padrão populacional dividido por \sqrt{n}.
(Esse valor 1,897 é o que se chama erro padrão; em prova calcule com 3 casas decimais se pedir aproximação.)
Passo 3
Como transformar probabilidades da média amostral em probabilidades da Normal Padrão (a ideia do z-score).
Para qualquer valor x calculamos o escore padronizado (z-score)
z=\frac{x-\mu}{\sigma_{\overline{X}}},
que nos permite usar a tabela (ou calculadora) da Normal Padrão Z\sim N(0,1).
Explicação curta: o z-score mede quantos erros padrões o valor x está distante da média; então \Pr(\overline{X}>x)=\Pr\Big(Z>\dfrac{x-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}\Big).
Usando a tabela da Normal Padrão (ou calculadora), \Pr(Z>1,054)=1-\Phi(1,054). Encontrando o valor da função de repartição: \Phi(1,054)\approx 0,854 (tabela aproximada), então
\Pr(\overline{X}>102)\approx 1-0,854=0,146.
Interpretação: há aproximadamente 14,6\% de chance de a média das 40 chaminés exceder 102 m se a verdadeira média for 100 m.
(Usando tabela: \Phi(-0{,}791)=1-\Phi(0{,}791) e \Phi(0{,}791)\approx0{,}786, então p\approx0{,}214.)
Interpretação prática: esse p-valor é bem maior que níveis comuns de significância (por exemplo \alpha=0{,}05 ou \alpha=0{,}01). Logo não há evidência estatística suficiente para rejeitar H_0 em favor de H_1. Em outras palavras, a média amostral 98{,}5 não fornece prova convincente de que a verdadeira média seja menor que 100.
Observação adicional (controle visual): construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu mostra a mesma ideia. O intervalo é
ou seja aproximadamente [94{,}781,\;102{,}219]. Como 100 está dentro desse intervalo, não há evidência de que \mu seja menor que 100 ao nível de 5\%.
Passo 7
Resumo final (curto e motivador): calculei o erro padrão, passei para z-scores, usei a Normal Padrão para obter probabilidades e, no teste, calculei o p-valor e também verifiquei o intervalo de confiança. Resultado prático: as ocorrências das partes (a) e (b) são relativamente improváveis (14,6% e 24,3% respectivamente), e a média amostral 98{,}5 não dá evidência suficiente para afirmar que a média populacional seja menor que 100. Vai dar tudo certo na prova — só lembrar desses passos!
Resposta
(a) \Pr(\overline{X}>102)\approx 0{,}146
(b) \Pr(101<\overline{X}<103)\approx 0{,}243
(c) Não. Para \overline{x}=98{,}5 obtém-se z\approx -0{,}791 e p\text{-valor}\approx 0{,}214; esse valor não é pequeno (por exemplo >0{,}05), portanto não há evidência suficiente para concluir que \mu<100.