Em uma determinada cidade, a duração de conversas telefônicas em minutos, originárias de telefones públicos, segue um modelo Exponencial com parâmetro \frac{1}{3}. Observando-se uma amostra aleatória de 50 chamadas, qual será a probabilidade delas, em média, não ultrapassarem 4 minutos? Admita que esta quantidade de chamadas ponha a distribuição em questão em condições de se aplicar o Teorema Central do Limite sem o processo de limite.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo pego do enunciado):
A duração de conversas telefônicas, em minutos, segue uma distribuição Exponencial com parâmetro \frac{1}{3}.
Foi observada uma amostra aleatória de n=50 chamadas.
A pergunta é: qual é a probabilidade dessas 50 chamadas, em média, não ultrapassarem 4 minutos? Ou seja, precisamos calcular
\mathbb{P}\!\left(\overline{X}\le 4\right),
onde \overline{X} é a média amostral das durações das 50 chamadas.
Passo 2
Entendendo a distribuição Exponencial e os seus parâmetros (mini-aula):
A Exponencial é uma distribuição contínua com parâmetro de taxa \lambda. Quando o enunciado diz “parâmetro \frac{1}{3}” vamos interpretar isso como a taxa \lambda=\tfrac{1}{3}.
Para uma variável aleatória X Exponencial com taxa \lambda vale:\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}.Aqui \mathbb{E}(X) é a média (esperança) e \operatorname{Var}(X) é a variância.
Substituindo \lambda=\tfrac{1}{3} obtemos:\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\tfrac{1}{3}}=3, \qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}}=9.Ou seja, cada chamada tem média \mu=3 minutos e desvio padrão \sigma=\sqrt{9}=3 minutos.
Passo 3
Definindo a média amostral e aplicando o Teorema Central do Limite (TCM) — mini-aula e justificativa:
A média amostral é\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,onde os X_i são as durações das chamadas (i.i.d.).
Pelo TCM, para n suficientemente grande a distribuição de \overline{X} fica aproximadamente Normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n. Ou seja,\overline{X}\overset{\text{aprox}}{\sim} N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).Aqui \mu=\mathbb{E}(X) e \sigma^{2}=\operatorname{Var}(X). O enunciado permite aplicar o TCM diretamente.
Portanto, no nosso caso:\overline{X}\overset{\text{aprox}}{\sim} N\!\left(3,\frac{9}{50}\right).
Passo 4
Cálculo do desvio-padrão da média amostral (erro padrão) e interpretação:
O desvio-padrão da média amostral é\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{50}}.
Calculemos \sqrt{50}: \sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}0710679. Então\sigma_{\overline{X}}=\frac{3}{\sqrt{50}}\approx \frac{3}{7{,}0710679}\approx 0{,}424264.Esse número mede a dispersão esperada da média amostral em torno de \mu=3.
Passo 5
Padronização (transformar em variável Normal padrão) — mini-aula sobre z-score:
Para achar \mathbb{P}\!\left(\overline{X}\le 4\right) usamos a padronizaçãoZ=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}\approx\frac{\overline{X}-3}{3/\sqrt{50}}.
Então\mathbb{P}\!\left(\overline{X}\le 4\right)=\mathbb{P}\!\left(Z\le \frac{4-3}{3/\sqrt{50}}\right).Calculemos o valor do z:z=\frac{4-3}{3/\sqrt{50}}=\frac{1}{3/\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{50}}{3}\approx\frac{7{,}0710679}{3}\approx 2{,}3570226.
Passo 6
Usar a tabela da Normal padrão (ou uma calculadora) para obter a probabilidade:
Queremos \mathbb{P}(Z\le z) com z\approx 2{,}3570. Consultando a tabela da Normal padrão ou usando calculadora, tem-se\Phi(2{,}3570)\approx 0{,}9908.Aqui \Phi é a função distribuição acumulada da Normal padrão. Em palavras: a probabilidade de a média das 50 chamadas ser menor ou igual a 4 minutos é cerca de 0{,}9908, isto é, aproximadamente 99{,}08\%.
Passo 7
Interpretação final e dica de prova (curtinha e motivadora):
A resposta diz que é muito provável, cerca de 99{,}1\%, que a média das 50 chamadas não ultrapasse 4 minutos, porque a média verdadeira é 3 minutos e o erro padrão da média é pequeno (\approx 0{,}424 minutos).
Dica para a prova: sempre calcule \mu e \sigma da distribuição original, ache \sigma_{\overline{X}}=\sigma/\sqrt{n}, padronize e use a tabela da Normal. Repete esses passos calmamente em qualquer questão parecida — funciona direto.