Uma empresa produz parafusos em duas máquinas. O comprimento dos parafusos produzidos em ambas é aproximadamente normal com média de 20 mm na primeira máquina e 25 mm na segunda máquina e desvio padrão comum de 4 mm . Uma caixa com 16 parafusos, sem identificação, é encontrada e o gerente de produção determina que, se o comprimento médio for maior que 23 mm , então a caixa será identificada como produzida pela máquina 2 . Especifique os possíveis erros nessa decisão e calcule as suas probabilidades.
Passo 1
O enunciado nos dá estas informações e pede o que segue:
- Duas máquinas (chamar de Máquina 1 e Máquina 2) produzem comprimentos aproximadamente normais.
- Média da Máquina 1:
(mm). - Média da Máquina 2:
(mm). - Desvio-padrão comum:
(mm). - Uma caixa tem
parafusos (sem identificação). O gerente adota a regra: se a média amostral for maior que mm, identifica a caixa como produzida pela Máquina 2; caso contrário identifica como Máquina 1.
O que o enunciado pede:
- Especificar quais erros podem ocorrer nessa decisão (ou seja, os dois tipos de decisão errada).
- Calcular as probabilidades desses erros.
Passo 2
Definindo claramente os dois erros possíveis (sem calcular ainda):
- Erro A (falso positivo para Máquina 2): a caixa veio da Máquina 1, mas a regra classifica como Máquina 2. Em notação condicional: decidir “Máquina 2” dado que a origem é Máquina 1.
- Erro B (falso negativo para Máquina 2): a caixa veio da Máquina 2, mas a regra classifica como Máquina 1. Em notação condicional: decidir “Máquina 1” dado que a origem é Máquina 2.
Passo 3
Agora vamos modelar a média amostral e explicar por que podemos calcular probabilidades exatas.
- Seja
a média dos comprimentos da caixa. - Cada parafuso produzido por uma máquina tem distribuição aproximadamente normal. Soma (e média) de variáveis normais independentes também é normal. Logo
é exatamente normal quando a amostra vem de qualquer máquina. - Para uma máquina com média
e desvio-padrão a média amostral tem distribuição:
- Aqui
é o erro-padrão da média (ou seja, o desvio-padrão da distribuição de ). Calculemos:
Logo:
onde
é
se a caixa vier da Máquina 1, ou
se vier da Máquina 2.
Passo 4
Cálculo do Erro A: probabilidade de decidir Máquina 2 quando a caixa veio da Máquina 1.
- A decisão “Máquina 2” ocorre quando
. - Se a origem é Máquina 1,
. Então queremos
- Padronizando para a Normal padrão
:
- Para o ponto
temos
- Assim
- Usando tabela/valores da normal padrão:
. Logo
Passo 5
Cálculo do Erro B: probabilidade de decidir Máquina 1 quando a caixa veio da Máquina 2.
- Decidir Máquina 1 ocorre quando
. - Se a origem é Máquina 2,
. Queremos
- Padronizando:
- Para o ponto
temos
- Assim
- Usando tabela/valores da normal padrão:
. Logo
Passo 6
Interpretações e números úteis:
- Erro A (
) é muito pequeno: aproximadamente . Significa que, se a caixa veio da Máquina 1, a chance de a média da amostra ultrapassar mm é cerca de . - Erro B (
) é cerca de = . Significa que, se a caixa veio da Máquina 2, a chance de a média ficar em mm ou menos é cerca de . - A potência do procedimento para detectar a Máquina 2 (quando é realmente a Máquina 2) é
(ou ). - Esses cálculos foram feitos usando a distribuição exata da média amostral porque a distribuição original é normal e o desvio-padrão é conhecido.
Resposta
Erro (decidir Máquina 2 quando veio da Máquina 1):
Erro (decidir Máquina 1 quando veio da Máquina 2):
Erro (decidir Máquina 1 quando veio da Máquina 2):