Uma empresa produz parafusos em duas máquinas. O comprimento dos parafusos produzidos em ambas é aproximadamente normal com média de 20 mm na primeira máquina e 25 mm na segunda máquina e desvio padrão comum de 4 mm . Uma caixa com 16 parafusos, sem identificação, é encontrada e o gerente de produção determina que, se o comprimento médio for maior que 23 mm , então a caixa será identificada como produzida pela máquina 2 . Especifique os possíveis erros nessa decisão e calcule as suas probabilidades.

Passo 1

O enunciado nos dá estas informações e pede o que segue:
  • Duas máquinas (chamar de Máquina 1 e Máquina 2) produzem comprimentos aproximadamente normais.
  • Média da Máquina 1: \mu_1=20 (mm).
  • Média da Máquina 2: \mu_2=25 (mm).
  • Desvio-padrão comum: \sigma=4 (mm).
  • Uma caixa tem n=16 parafusos (sem identificação). O gerente adota a regra: se a média amostral for maior que 23 mm, identifica a caixa como produzida pela Máquina 2; caso contrário identifica como Máquina 1.
    O que o enunciado pede:
  1. Especificar quais erros podem ocorrer nessa decisão (ou seja, os dois tipos de decisão errada).
  2. Calcular as probabilidades desses erros.

Passo 2

Definindo claramente os dois erros possíveis (sem calcular ainda):
  • Erro A (falso positivo para Máquina 2): a caixa veio da Máquina 1, mas a regra classifica como Máquina 2. Em notação condicional: decidir “Máquina 2” dado que a origem é Máquina 1.
  • Erro B (falso negativo para Máquina 2): a caixa veio da Máquina 2, mas a regra classifica como Máquina 1. Em notação condicional: decidir “Máquina 1” dado que a origem é Máquina 2.

Passo 3

Agora vamos modelar a média amostral e explicar por que podemos calcular probabilidades exatas.
  • Seja \bar{X} a média dos n=16 comprimentos da caixa.
  • Cada parafuso produzido por uma máquina tem distribuição aproximadamente normal. Soma (e média) de variáveis normais independentes também é normal. Logo \bar{X} é exatamente normal quando a amostra vem de qualquer máquina.
  • Para uma máquina com média \mu e desvio-padrão \sigma a média amostral tem distribuição:
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
  • Aqui \sigma/\sqrt{n} é o erro-padrão da média (ou seja, o desvio-padrão da distribuição de \bar{X}). Calculemos:
\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{4}{\sqrt{16}}=\dfrac{4}{4}=1\\ \text{(mm)}.
Logo:
\bar{X}\sim N(\mu,1),
onde \mu é \mu_1=20 se a caixa vier da Máquina 1, ou \mu_2=25 se vier da Máquina 2.

Passo 4

Cálculo do Erro A: probabilidade de decidir Máquina 2 quando a caixa veio da Máquina 1.
  • A decisão “Máquina 2” ocorre quando \bar{X}>23.
  • Se a origem é Máquina 1, \bar{X}\sim N(20,1). Então queremos
P(\text{decidir M2}\mid \text{M1})=P(\bar{X}>23\mid \mu=20).
  • Padronizando para a Normal padrão Z\sim N(0,1):
Z=\dfrac{\bar{X}-20}{1}.
  • Para o ponto 23 temos
z=\dfrac{23-20}{1}=3.
  • Assim
P(\bar{X}>23\mid \mu=20)=P\big(Z>3\big)=1-\Phi(3).
  • Usando tabela/valores da normal padrão: \Phi(3)\approx 0,99865. Logo
1-\Phi(3)\approx 0,00135.

Passo 5

Cálculo do Erro B: probabilidade de decidir Máquina 1 quando a caixa veio da Máquina 2.
  • Decidir Máquina 1 ocorre quando \bar{X}\le 23.
  • Se a origem é Máquina 2, \bar{X}\sim N(25,1). Queremos
P(\text{decidir M1}\mid \text{M2})=P(\bar{X}\le 23\mid \mu=25).
  • Padronizando:
Z=\dfrac{\bar{X}-25}{1}.
  • Para o ponto 23 temos
z=\dfrac{23-25}{1}=-2.
  • Assim
P(\bar{X}\le 23\mid \mu=25)=P\big(Z\le -2\big)=\Phi(-2).
  • Usando tabela/valores da normal padrão: \Phi(-2)\approx 0,0228. Logo
P(\text{decidir M1}\mid \text{M2})\approx 0,0228.

Passo 6

Interpretações e números úteis:
  • Erro A ( P(\text{decidir M2}\mid \text{M1})) é muito pequeno: aproximadamente 0,00135. Significa que, se a caixa veio da Máquina 1, a chance de a média da amostra ultrapassar 23 mm é cerca de 0,135\%.
  • Erro B ( P(\text{decidir M1}\mid \text{M2})) é cerca de 0,0228 = 2,28\%. Significa que, se a caixa veio da Máquina 2, a chance de a média ficar em 23 mm ou menos é cerca de 2,28\%.
  • A potência do procedimento para detectar a Máquina 2 (quando é realmente a Máquina 2) é 1-0,0228\approx 0,9772 (ou 97,72\%).
  • Esses cálculos foram feitos usando a distribuição exata da média amostral porque a distribuição original é normal e o desvio-padrão é conhecido.

Resposta

Erro (decidir Máquina 2 quando veio da Máquina 1): P=1-\Phi(3)\approx 0,00135
Erro (decidir Máquina 1 quando veio da Máquina 2): P=\Phi(-2)\approx 0,0228

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