Agora prove que se
e
são inteiros positivos com
então
Part
. Prove também que se
é um inteiro positivo e
então
. [Sugestão: use os “produtos notáveis”
, para
.]
Part
Passo 1
O enunciado pede que provemos que se
então
, e de modo mais geral que, para inteiro
,
implica
. O conteúdo envolve desigualdades em inteiros e produtos notáveis; vamos usar as fatorações de
e de
.
Passo 2
Para
, partimos de
, o que dá
. Aplicando o produto notável temos
Como
e
são inteiros positivos,
. Logo, para o produto
ser positivo, deve valer
, ou seja,
.
Passo 3
Para
, partimos de
, logo
. Novamente pelo produto notável:
Cada termo da soma
é positivo, então a soma toda é
. Para o produto ser positivo, é preciso
, ou seja,
.
Resposta
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