Agora prove que se a e b são inteiros positivos com a^2>b^2 então
Part a>b. Prove também que se n >= 3 é um inteiro positivo e a^n>b^n então a>b. [Sugestão: use os “produtos notáveis” a^2-b^2=(a-b)(a+b) e a^n-b^n=(a-b)(a^n-1+a^n-2 b+ldots+a b^n-2+b^n-1), para n >= 2.]

Passo 1

O enunciado pede que provemos que se a^2>b^2 então a>b, e de modo mais geral que, para inteiro n>=3, a^n>b^n implica a>b. O conteúdo envolve desigualdades em inteiros e produtos notáveis; vamos usar as fatorações de a^2-b^2 e de a^n-b^n.

Passo 2

Para n=2, partimos de a^2>b^2, o que dá a^2-b^2>0. Aplicando o produto notável temos
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Como a e b são inteiros positivos, a+b>0. Logo, para o produto (a-b)(a+b) ser positivo, deve valer a-b>0, ou seja, a>b.

Passo 3

Para n>=3, partimos de a^n>b^n, logo a^n-b^n>0. Novamente pelo produto notável:
a^n - b^n = (a-b)l(a^n-1 + a^n-2b + dots + ab^n-2 + b^n-1r)
Cada termo da soma a^n-1,a^n-2b,dots,b^n-1 é positivo, então a soma toda é >0. Para o produto ser positivo, é preciso a-b>0, ou seja, a>b.

Resposta

a>b

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