Prove que se
e
são inteiros com
então
.
Passo 1
Estamos diante de uma prova de desigualdades e propriedades de ordenação em inteiros. A questão diz: “Sejam inteiros a e b tais que a > b > 0. Provar que a² > b².” Para isso vamos usar a propriedade de que, quando multiplicamos uma desigualdade por um número positivo, a ordem se preserva, além da transitividade de “>”.
Passo 2
Como a > b e sabemos que a > 0 (pois b > 0 e a > b), podemos multiplicar a desigualdade por a sem invertê-la. Assim, de a > b segue a² > a·b. Isso vem da propriedade: se x > y e z > 0 então x·z > y·z.
Do mesmo modo, como a > b e b > 0, multiplicamos a > b por b (positivo) para obter a·b > b². Aqui aplicamos de novo a regra de que multiplicar uma desigualdade por um número positivo mantém o sentido “>”.
Do mesmo modo, como a > b e b > 0, multiplicamos a > b por b (positivo) para obter a·b > b². Aqui aplicamos de novo a regra de que multiplicar uma desigualdade por um número positivo mantém o sentido “>”.
Passo 3
Agora temos duas desigualdades encadeadas:
Pela transitividade da relação “>” (isto é, se X > Y e Y > Z então X > Z), concluímos que a² > b².
Logo, demonstramos que sempre que a > b > 0 (com a e b inteiros), vale a² > b².
Logo, demonstramos que sempre que a > b > 0 (com a e b inteiros), vale a² > b².
Resposta
a² > b²