Calcule, se houver, o(s) valor(es) de m in R para que a reta r: X=(1,1,1)Sigma+lambda(2, m, 1)E, lambda in R, seja paralela ao plano pi: X=(0,0,0)Sigma+alpha(1,2,0)E+beta(1,0,1)E, alpha, beta in R.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de minR para que a reta r seja paralela ao plano pi. A matéria envolve geometria analítica em R^3, especificamente o conceito de paralelismo entre reta e plano, que exige que o vetor diretor da reta seja ortogonal ao vetor normal do plano. Vamos precisar calcular o vetor normal do plano com o produto vetorial e depois impor a ortogonalidade com o vetor diretor da reta.

Passo 2

Para obter o vetor normal n do plano, usamos o produto vetorial entre os vetores diretores u=(1,2,0) e v=(1,0,1).
Para calcular n=utimesv usamos:
n = i & j & k 1 & 2 & 0 1 & 0 & 1 = (2cdot1 - 0cdot0)i - (1cdot1 - 0cdot1)j + (1cdot0 - 2cdot1)k = (2,-1,-2)

Passo 3

O vetor diretor da reta é d=(2,m,1). Para que a reta seja paralela ao plano, impondo ortogonalidade ao vetor normal, precisamos de dcdotn=0.
Calculando o produto escalar e resolvendo para m:
(2,m,1)cdot(2,-1,-2) = 4 - m -2 = 2 - m = 0 implies m = 2

Resposta

m = 2

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