Agora, teste a convergência das seguintes séries:
(1) sumn=1^infty (-1)^nn(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
sumn=1^infty(-1)^nn(n+2)
O conteúdo que vamos usar inclui o teste de Leibniz (para séries alternantes) e o teste de comparação (para convergência absoluta).

Passo 2

Para aplicar o teste de Leibniz, definimos
bn = 1n(n+2)
Primeiro, limntoinftybn = 0.
Segundo, verificamos que a sequência (bn) é decrescente, pois
bn+1bn = n(n+2)(n+1)(n+3) <1 (forall n>=1)
Logo, pelos critérios de Leibniz, a série original converge.

Passo 3

Agora testamos a convergência absoluta, analisando
sumn=1^inftygl|(-1)^nn(n+2)gr| = sumn=1^infty1n(n+2)
Para n>=1 vale
1n(n+2) <= 1n^2

Passo 4

Sabemos que
sumn=1^infty1n^2
é convergente ( p-série com p=2>1). Pelo teste de comparação, sum 1/[n(n+2)] também converge. Portanto a série dada converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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