Agora, teste a convergência das seguintes séries:
(h) sumn=1^infty (-1)^n cos nn^2

Passo 1

Temos a série
sumn=1^infty (-1)^ncos nn^2
e queremos testar sua convergência. Como o termo geral envolve um fator oscilatório (-1)^ncos n e um decaimento 1/n^2, uma boa estratégia é verificar a convergência absoluta, pois 1/n^2 é uma p-série com p=2>1.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|(-1)^ncos nn^2r| =sumn=1^infty|cos n|n^2
Como |cos n|<=1 para todo n, temos
|cos n|n^2<=1n^2
E como sumn=1^inftytfrac1n^2 é convergente (p-série com p=2), pelo teste da comparação concluímos que
sumn=1^infty|cos n|n^2
converge.

Passo 3

Como a série converge absolutamente, ela converge (a convergência absoluta implica convergência da série original).

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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