1. Determine a soma de sumn=1^infty (-1)^nn!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a soma infinita sumn=1^infty (-1)^nn!. Isso está relacionado ao conteúdo de séries infinitas e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como funções exponenciais podem ser representadas por séries e como manipular essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma série bem conhecida: a série de Taylor para a função exponencial e^x, que é dada por
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Essa é uma forma de escrever o valor de e^x como uma soma infinita envolvendo termos de potências de x divididos por fatorial de n.

Passo 3

No nosso exercício, temos uma série similar, mas com x = -1. Então, substituindo x por -1 na série de e^x, temos
e^-1 = sumn=0^infty (-1)^nn!
Isso significa que se somarmos todos os termos a partir de n=0, o resultado será e^-1.

Passo 4

No entanto, o exercício começa a soma a partir de n=1. Então, podemos reescrever a soma completa subtraindo o primeiro termo ( n=0):
sumn=1^infty (-1)^nn! = sumn=0^infty (-1)^nn! - (-1)^00!
Sabemos que (-1)^00! = 1, então:
sumn=1^infty (-1)^nn! = e^-1 - 1

Resposta

A soma sumn=1^infty (-1)^nn! é igual a e^-1 - 1.

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