Agora, teste a convergência das seguintes séries:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
. Vamos usar conhecimento de séries numéricas e teste de comparação assintótica para decidir se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, a gente olha o termo geral
e quer entender como ele se comporta quando
é grande. A parte complicada está em
.
Passo 3
Para achar o limite de
, note que para
grande,
domina
. Então podemos escrever:
Como
e
sempre que
é limitado e
, concluímos:
Passo 4
Com esse resultado, vemos que o termo geral da nossa série se comporta como
ou seja,
é assintoticamente igual a
.
Passo 5
Agora aplicamos o teste de comparação-limite com a série harmônica
, que diverge. Calculamos:
o que é um número finito e não nulo. Assim, pelas propriedades do teste de comparação-limite,
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 6
Como
diverge, concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
A série
diverge.