Agora, teste a convergência das seguintes séries:
(d) sumn=1^infty (2^n+3^n)^1 / nn

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty (2^n+3^n)^1/nn. Vamos usar conhecimento de séries numéricas e teste de comparação assintótica para decidir se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, a gente olha o termo geral an = (2^n+3^n)^1/nn e quer entender como ele se comporta quando n é grande. A parte complicada está em (2^n+3^n)^1/n.

Passo 3

Para achar o limite de (2^n+3^n)^1/n, note que para n grande, 3^n domina 2^n. Então podemos escrever:
(2^n+3^n)^1/n = 3cdotl(1 + (2/3)^nr)^1/n
Como 0<(2/3)^n<1 e (1 + x)^1/n to 1 sempre que x é limitado e ntoinfty, concluímos:
limntoinfty(2^n+3^n)^1/n = 3

Passo 4

Com esse resultado, vemos que o termo geral da nossa série se comporta como
an = (2^n+3^n)^1/nn sim 3n,
ou seja, an é assintoticamente igual a 3/n.

Passo 5

Agora aplicamos o teste de comparação-limite com a série harmônica sum 1/n, que diverge. Calculamos:
limntoinfty an1/n = limntoinfty (2^n+3^n)^1/n = 3,
o que é um número finito e não nulo. Assim, pelas propriedades do teste de comparação-limite, sum an e sum 1/n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 6

Como sum 1/n diverge, concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (2^n+3^n)^1/nn diverge.

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