Avalie a integral usando integração por partes.
3) integral x cos (5 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x cos(5x),dx usando a técnica de integração por partes. O conteúdo envolvido é integração por partes e vamos precisar escolher adequadamente u e dv.

Passo 2

Escolhemos u = x e dv = cos(5x),dx. Com isso, derivamos u e integramos dv:
du = dx,
v = integral cos(5x),dx

Passo 3

Para calcular v, lembramos que integral cos(ax),dx = tfrac1asin(ax). Então:
v = 15sin(5x)

Passo 4

Aplicamos agora a fórmula de integração por partes:
integral u,dv = u,v - integral v,du
Substituindo as variáveis escolhidas, temos:
integral x cos(5x),dx = x cdot 15sin(5x) - integral 15sin(5x),dx

Passo 5

Fatoramos 1/5 na integral restante:
integral x cos(5x),dx = x5sin(5x) - 15 integral sin(5x),dx

Passo 6

Calculamos integral sin(5x),dx. Como integral sin(ax),dx = -tfrac1acos(ax), temos:
integral sin(5x),dx = -15cos(5x)

Passo 7

Substituindo este resultado de volta e simplificando os sinais e fatores:
integral x cos(5x),dx = x5sin(5x) - 15 l(-15cos(5x)r)
integral x cos(5x),dx = x5sin(5x) + 125cos(5x) + C

Resposta

x5sin(5x) + 125cos(5x) + C

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