Agora, teste a convergência das seguintes séries:
(i) sumn=1^infty raiznn^2+2

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a série de termos positivos sumn=1^inftyraiznn^2+2. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, usando principalmente o teste de comparação com séries-p.

Passo 2

Como todos os termos são positivos, podemos comparar an=raiznn^2+2 com uma série-p mais simples. Note que para todo n>=1 vale
n^2+2>n^2, portanto
an=raiznn^2+2

Passo 3

A série sum n^-3/2 é uma série-p com expoente p=3/2>1, logo converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, como 0<= an<= n^-3/2 e sum n^-3/2 converge, concluímos que a série dada também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyraiznn^2+2 converge (convergência absoluta).

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