Determine a derivada.
(h) f(x)=cos (e^x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=cosl(e^xr)
Aqui o conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas, em especial a composição de uma função trigonométrica ( cos) com a exponencial ( e^x).

Passo 2

Identificamos as “camadas” da composição:
  1. A função exterior é g(u)=cos(u).
  2. A função interior é u(x)=e^x.

Passo 3

Sabendo que a derivada da função trigonométrica é
g'(u)=dducos(u)=-sin(u),
pela regra da cadeia teremos um fator -sin(u(x)) multiplicando a derivada de u(x).

Passo 4

A derivada da função exponencial é
u'(x)=ddxe^x=e^x

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x)=g'l(u(x)r)cdot u'(x) =-sinl(e^xr)cdot e^x

Resposta

f'(x)=-e^x,sinl(e^xr)

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