Escreva F(x) na forma f(g(x)) e encontre sua derivada.
3) F(x)=(1-x^2)^10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a função F(x) = (1 - x^2)^10 na forma de uma função composta f(g(x)) e depois encontrar a derivada dessa função. Para isso, vamos usar o conceito de função composta e a regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem F(x) . Olhando a expressão (1 - x^2)^10 , podemos ver que temos uma função externa que eleva outra função ao expoente 10 e uma função interna que é 1 - x^2 .

Passo 3

Então, vamos definir:
  • g(x) = 1 - x^2 (a função interna)
  • f(u) = u^10 onde u = g(x) (a função externa)
Assim, podemos escrever F(x) = f(g(x)) .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de F(x) usando a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é f'(g(x)) cdot g'(x) .

Passo 5

Primeiro, vamos derivar f(u) = u^10 . A derivada de u^n é n cdot u^n-1 , então:
f'(u) = 10u^9

Passo 6

Em seguida, derivamos g(x) = 1 - x^2 . A derivada de 1 é 0 e a derivada de -x^2 é -2x , então:
g'(x) = -2x

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)
Substituindo f'(g(x)) e g'(x) :
F'(x) = 10(1 - x^2)^9 cdot (-2x)

Passo 8

Simplificando a expressão:
F'(x) = -20x(1 - x^2)^9

Resposta

A derivada de F(x) = (1 - x^2)^10 é:
F'(x) = -20x(1 - x^2)^9

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