1. Suponha que a sequência an seja convergente e tenha limite l. Considere as sequências an^+ e an^- definidos por: an^+=12(an+|an|) e an^-=12(an-|an|)
    (a) Calcule os limites: lim an^+e lim an^-.

Passo 1

O enunciado diz que a sequência an converge para l. Precisamos encontrar os limites de
an^+ = 12l(an + |an|r) e an^- = 12l(an - |an|r)
O conteúdo usado será propriedades de limites (soma e diferença) e a continuidade da função módulo.

Passo 2

Como a função xmapsto|x| é contínua em R, vale
limntoinfty |an| = l|limntoinfty anr| = |l|

Passo 3

Usando que soma e diferença de sequências convergentes convergem para a soma e diferença dos limites, temos
limntoinfty an^+ = limntoinfty12l(an + |an|r) = 12l(limntoinftyan + limntoinfty|an|r) = 12l(l + |l|r),
limntoinfty an^- = limntoinfty12l(an - |an|r) = 12l(limntoinftyan - limntoinfty|an|r) = 12l(l - |l|r)

Resposta

limntoinfty an^+ = l + |l|2,
limntoinfty an^- = l - |l|2

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