Avalie a integral usando integração por partes.
8) integral1^4 raizx ln (x) d x

Passo 1

Começamos com a integral
integral1^4 raizxln x , dx .
O conteúdo aqui é integração por partes, cuja fórmula é
integral u, dv = u v - integral v, du .

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = ln x e dv = x^1/2, dx ,
pois derivar ln x simplifica e integrar x^1/2 é direto.

Passo 3

Derivamos u e integramos dv:
du = 1x , dx
v = integral x^1/2 , dx = 23x^3/2 .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes no intervalo [1,4], temos
integral1^4 x^1/2ln x , dx = [23x^3/2ln x]1^4 - integral1^4 23x^3/2cdot 1x , dx .

Passo 5

O segundo termo simplifica para
23integral1^4 x^1/2 , dx = 23cdot23l[x^3/2r]1^4 = 49(8 - 1) = 289
e o termo de contorno é
[23x^3/2ln x]1^4 = 23cdot 8 ln4 - 0 = 163ln4 .

Passo 6

Subtraindo o integral remanescente do termo de contorno e simplificando chegamos ao resultado final.

Resposta

163ln4 - 289

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