2.5. O TESTE DA RAZÃO

  1. Determine a soma de sumn=1^infty 1n^n.

Passo 1

O enunciado pede a soma da série
sumn=1^infty1n^n
O conteúdo aqui são séries infinitas, e para resolver vamos:
  1. usar o teste da razão para assegurar convergência;
  2. calcular somas parciais para estimar numericamente o valor da soma.

Passo 2

Seja an = 1n^n. Aplicando o teste da razão, calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinftyn^n(n+1)^n+1 = limntoinftyl(nn+1r)^n,1n+1
Sabemos que l(tfracnn+1r)^nto tfrac1e e tfrac1n+1to0, logo o limite é 0<1. Portanto a série converge absolutamente.

Passo 3

Para estimar a soma, somamos termos até o erro ficar desprezível:
S1=1, S2=1 + tfrac12^2=1,25, S3=1,25 + tfrac13^3approx1,287037,
S4approx1,287037 + tfrac14^4=1,29094325, S5approx1,29094325 + tfrac15^5=1,29126325
Os termos seguintes são cada vez menores; isso indica convergência para cerca de 1,2913.

Passo 4

Existe a representação teórica via o “Sonho do Calouro”:
sumn=1^infty1n^n = integral0^1x^-x,dx,
mas essa integral não se expressa em funções elementares e serve apenas como curiosidade.

Resposta

sumn=1^infty1n^napprox1,2913

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