Para F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) e G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) funções de n variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, e G é uma função limitada, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot G\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto P, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} \frac{\operatorname{sen}\left[F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]}{F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=1
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando t tende a algum valor a, tivermos f(t) \rightarrow 0 \mathrm{e} g(t) \rightarrow 0, ou tivermos f(x) \rightarrow \infty e g(x) \rightarrow \infty (indiferente se é +\infty ou -\infty ), então é verdade que
\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(t)}{g^{\prime}(t)}
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} x^{2} \frac{\operatorname{sen}(2 y-x)}{2 y-x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(2,1)} x^{2}\,\frac{\operatorname{sen}(2y - x)}{2y - x}
O conteúdo é limite de função de duas variáveis, uso do limite fundamental da trigonometria e propriedade de produto de limites.

Passo 2

Observe que, ao nos aproximarmos de (x,y)\to(2,1), o argumento da função seno
F(x,y)=2y - x
tende a
F(2,1)=2\cdot1 - 2 = 0.
Como F(x,y)\to0, pelo teorema (II) (Limite Fundamental da Trigonometria) temos
\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{\operatorname{sen}\bigl(F(x,y)\bigr)}{F(x,y)} = 1.

Passo 3

A função x^2 é contínua, logo
\lim_{(x,y)\to(2,1)} x^2 = 2^2 = 4.

Passo 4

Pela propriedade de produto de limites, o limite original é
\lim_{(x,y)\to(2,1)} x^{2}\,\frac{\operatorname{sen}(2y - x)}{2y - x} = \Bigl(\lim_{(x,y)\to(2,1)} x^2\Bigr)\cdot \Bigl(\lim_{(x,y)\to(2,1)} \frac{\operatorname{sen}(2y - x)}{2y - x}\Bigr) = 4 \times 1 = 4.

Resposta

4

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