Calcule os limites a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(4,0)} \frac{x-7}{|y|}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x-7}{|y|}
quando (x,y)\to(4,0).
Conteúdo: limites em várias variáveis e comportamento de frações cujo denominador tende a zero.

Passo 2

Analisamos o numerador. Ao aproximar (x,y) de (4,0), temos
x\to4 \quad\Longrightarrow\quad x-7\to4-7=-3.

Passo 3

Analisamos o denominador. Como |y|\ge0 e |y|\to0 quando y\to0, o denominador se comporta como uma pequena quantidade positiva que tende a zero.

Passo 4

Quando o numerador tende a uma constante não nula ( -3) e o denominador tende a 0^+, a fração cresce em módulo sem limite. Como o numerador é negativo e o denominador é sempre positivo (por causa do valor absoluto), o quociente tende a -\infty.

Resposta

\lim_{(x,y)\to(4,0)}\frac{x-7}{|y|}=-\infty.

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