Em uma agradável manhã de sábado, enquanto as pessoas estão trabalhando no interior, o aquecedor mantém a temperatura dentro do prédio a 21^circ C. Ao meio-dia, o aquecimento é desligado e todos vão para casa. A temperatura fora é de 12^circ C constantes para o resto da tarde. Se a constante de tempo para o prédio é 3 horas, quando a temperatura dentro do prédio alcançará 16^circ C ? Se algumas janelas forem deixadas abertas e a constante de tempo cair para 2 horas, quando a temperatura interna alcançará 16^circ C ?

Passo 1

O enunciado descreve um prédio cuja temperatura interna é mantida em 21^circC até o meio-dia, quando o aquecimento é desligado. A temperatura externa é constante em 12^circC. Queremos saber a que instante, após o meio-dia, a temperatura interna cai para 16^circC, primeiro com constante de tempo tau=3 h e depois com tau=2 h. O conteúdo usado é a lei do resfriamento de Newton.

Passo 2

Pela lei de Newton temos a equação diferencial
dTdt = -k,(T - Trm amb),
cuja solução geral é
T(t) = Trm amb + (T0 - Trm amb),e^-k t
A constante de tempo satisfaz tau = 1/k, então podemos reescrever
T(t) = Trm amb + (T0 - Trm amb),e^-t/tau

Passo 3

Para tau = 3 h temos
T(t) = 12 + (21 - 12),e^-t/3 = 12 + 9,e^-t/3
Impondo T(t)=16:
16 = 12 + 9,e^-t/3 Longrightarrow e^-t/3 = tfrac49 Longrightarrow t = -3ln!l(tfrac49r) = 3ln!l(tfrac94r)
Como ln(9/4)approx0,8109, segue
t approx 3times0,8109 approx 2,4328 h,
isto é cerca de 2 h 26 min após o meio-dia.

Passo 4

Para tau = 2 h fazemos igual:
T(t) = 12 + 9,e^-t/2,
16 = 12 + 9,e^-t/2 Longrightarrow e^-t/2 = tfrac49 Longrightarrow t = -2ln!l(tfrac49r) = 2ln!l(tfrac94r)
Com ln(9/4)approx0,8109, vem
t approx 2times0,8109 approx 1,6218 h,
ou seja cerca de 1 h 37 min após o meio-dia.

Resposta

Para tau=3 h: aproximadamente 2 h 26 min após o meio-dia (14h26).
Para tau=2 h: aproximadamente 1 h 37 min após o meio-dia (13h37).

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