Descreva o movimento de uma partícula com posição (x, y) quando t varia no intervalo dado.
x=2 sen t, y=4+cos t, 0 <= t <= 3 pi2

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = 2sin t, y = 4 + cos t, 0 <= t <= tfrac3pi2
e pede para descrever o movimento da partícula. Aqui o conteúdo é curva paramétrica, conversão para equação cartesiana, identificação da forma geométrica, centro, e sentido de percurso.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro usando sin^2 t + cos^2 t = 1. Como
sin t = x2, cos t = y - 4,
temos
l(x2r)^2 + (y - 4)^2 = 1
Isso mostra que a trajetória é uma elipse.

Passo 3

Da equação
l(tfracx2r)^2 + (y-4)^2 = 1
vemos que o centro é (0,4), o semi-eixo horizontal vale a=2 e o semi-eixo vertical vale b=1. Os eixos da elipse são paralelos aos eixos x e y.

Passo 4

Para identificar onde a partícula inicia e termina, calculemos:
  • t=0:
x = 2sin 0 = 0, y = 4 + cos 0 = 5,
ponto inicial (0,5).
  • t=tfrac3pi2:
x = 2sinl(tfrac3pi2r) = -2, y = 4 + cosl(tfrac3pi2r)=4,
ponto final (-2,4).
  • Pontos intermediários úteis:
    t=tfracpi2to(2,4),
    t=pito(0,3).

Passo 5

Observando a sequência de pontos — (0,5) para (2,4) para (0,3) e finalmente para (-2,4) — notamos que a partícula percorre a elipse no sentido horário.
O intervalo 0<= t<= tfrac3pi2 corresponde a três quartos de volta, saindo do vértice superior da elipse, passando pelo vértice direito, depois inferior, e terminando no lado esquerdo.

Resposta

A partícula descreve o arco da elipse
l(tfracx2r)^2 + (y - 4)^2 = 1
de centro em (0,4) e semi-eixos 2 (horizontal) e 1 (vertical), iniciando em (0,5) para t=0, percorrendo três quartos de volta no sentido horário, e terminando em (-2,4) para t=tfrac3pi2.

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