Descreva o movimento de uma partícula com posição
quando
varia no intervalo dado.
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas
e pede para descrever o movimento da partícula. Aqui o conteúdo é curva paramétrica, conversão para equação cartesiana, identificação da forma geométrica, centro, e sentido de percurso.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro usando
. Como
temos
Isso mostra que a trajetória é uma elipse.
Passo 3
Da equação
vemos que o centro é
, o semi-eixo horizontal vale
e o semi-eixo vertical vale
. Os eixos da elipse são paralelos aos eixos
e
.
Passo 4
Para identificar onde a partícula inicia e termina, calculemos:
-
:
ponto inicial
.
-
:
ponto final
.
- Pontos intermediários úteis:
,
.
Passo 5
Observando a sequência de pontos —
para
para
e finalmente para
— notamos que a partícula percorre a elipse no sentido horário.
O intervalo corresponde a três quartos de volta, saindo do vértice superior da elipse, passando pelo vértice direito, depois inferior, e terminando no lado esquerdo.
O intervalo
Resposta
A partícula descreve o arco da elipse
de centro em
e semi-eixos
(horizontal) e
(vertical), iniciando em
para
, percorrendo três quartos de volta no sentido horário, e terminando em
para
.