Agricultura Uma mistura de 6 galões do produto químico A, 8 galões do produto químico B e 13 galões de produto químico C é necessária para matar um inseto destrutivo para a colheita. Um spray comercial X contém 1, 2 e 2 partes, respectivamente, desses produtos químicos. O spray comercial Y contém apenas o produto químico C . O spray comercial Z contém os produtos químicos A, B e C em quantidades iguais. Quanto de cada tipo de spray é necessário para obter a mistura desejada?

Passo 1

O enunciado pede uma mistura de 6 galões do químico A, 8 galões do químico B e 13 galões do químico C usando três sprays comerciais X, Y e Z. O spray X tem partes de A, B e C em proporção 1:2:2; Y é só C; Z tem A, B e C em partes iguais 1:1:1. Vamos chamar de x, y e z os volumes (em galões) de X, Y e Z que precisamos.

Passo 2

Primeiro, expressamos a fração de cada químico em cada spray:
  • Spray X: total de 1+2+2=5 partes, logo A corresponde a tfrac15, B a tfrac25 e C a tfrac25.
  • Spray Y: é só C, logo fração de C é 1.
  • Spray Z: partes iguais, total 3, logo cada químico tem fração tfrac13.
Assim, em x galões de X temos:
A: x5, B: 2x5, C: 2x5
Em y galões de Y temos y galões de C.
Em z galões de Z temos
A: z3, B: z3, C: z3

Passo 3

Agora montamos as equações para igualar os totais desejados de cada químico:
x5 + z3 = 6, 2x5 + z3 = 8, 2x5 + y + z3 = 13

Passo 4

Para eliminar denominadores, multiplicamos cada equação por
Da diferença entre a segunda e a primeira obtemos
Substituindo em (3x+5z=90]:

Por fim, na terceira equação:

Resposta

Galões de spray X: 10
Galões de spray Y: 5
Galões de spray Z: 12

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