Decomposição em frações parciais Nos Exercícios 63 e 64, use um sistema de equações para encontrar a decomposição em frações parciais da expressão racional. Resolva o sistema usando matrizes.
3 x^2+3 x-2(x+1)^2(x-1)=Ax+1+Bx-1+C(x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
3x^2+3x-2(x+1)^2(x-1)
na forma
Ax+1+Bx-1+C(x+1)^2,
usando um sistema de equações e resolvendo-o por matrizes.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x+1)^2(x-1) e obtemos a identidade
3x^2+3x-2 ;=; A(x+1)(x-1);+;B(x+1)^2;+;C(x-1)

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de x:
A(x^2-1)+B(x^2+2x+1)+C(x-1) =(A+B)x^2+(2B+C)x+(-A+B-C)
Comparando com 3x^2+3x-2 gera o sistema
A + B = 3, 2B + C = 3, -,A + B - C = -2

Passo 4

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
(ccc|c 1 & 1 & 0 & 3 0 & 2 & 1 & 3 -1 & 1 & -1 & -2 )

Passo 5

Aplicando eliminação de Gauss:
  • Soma R3>=ts R3+R1 R3=[0;,2;,-1mid1].
  • Subtrai R3>=ts R3-R2 resulta em [0;0;-2mid-2], logo C=1.
  • De 2B+C=3 vem 2B+1=3 Rightarrow B=1.
  • De A+B=3 vem A+1=3 Rightarrow A=2.

Resposta

A=2,;B=1,;C=1, ou seja
3x^2+3x-2(x+1)^2(x-1) =2x+1+1x-1+1(x+1)^2

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