(2,5 pts) Considere a matriz . Determine todas as matrizes B=[ccx & y z & w] que comutam com A.
Solução: A matriz B=[ccx & y z & w] comuta com A, se, e somente se,
[cc 2 & 1 4 & 3 ][cc x & y z & w ]=[cc 2 x+z & 2 y+w 4 x+3 z & 4 y+3 w ]=[cc 2 x+4 y & x+3 y 2 z+4 w & z+3 w ]=[cc x & y z & w ][cc 2 & 1 4 & 3 ]
A igualdade equivale ao seguinte sistema
2 x+z & =2 x+4 y 4 x+3 z & =2 z+4 w 2 y+w & =x+3 y 4 y+3 w & =z+3 w
Que é um sistema SPI com grau de liberdade 2. A solução do sistama é z=4 w-4 x e b=w-x. Assim
B=[cc x & d w-x 4 w-4 x & w ]
Passo 1
O enunciado pede todas as matrizes B=x & y z & w
que comutam com A=2 & 14 & 3.
Isso significa resolver a equação matricial AB=BA,
usando produto de matrizes e depois resolvendo o sistema linear resultante.
Passo 2
Calculemos
Passo 3
Calculemos
Passo 4
Igualando AB=BA entrada a entrada, obtemos o sistema