(2,5 pts) Considere a matriz A=[ll2 & 1 4 & 3]. Determine todas as matrizes B=[ccx & y z & w] que comutam com A.
Solução: A matriz B=[ccx & y z & w] comuta com A, se, e somente se,
[cc 2 & 1 4 & 3 ][cc x & y z & w ]=[cc 2 x+z & 2 y+w 4 x+3 z & 4 y+3 w ]=[cc 2 x+4 y & x+3 y 2 z+4 w & z+3 w ]=[cc x & y z & w ][cc 2 & 1 4 & 3 ]
A igualdade equivale ao seguinte sistema
2 x+z & =2 x+4 y 4 x+3 z & =2 z+4 w 2 y+w & =x+3 y 4 y+3 w & =z+3 w
Que é um sistema SPI com grau de liberdade 2. A solução do sistama é z=4 w-4 x e b=w-x. Assim
B=[cc x & d w-x 4 w-4 x & w ]

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes
B=x & y z & w
que comutam com
A=2 & 14 & 3.
Isso significa resolver a equação matricial
AB=BA,
usando produto de matrizes e depois resolvendo o sistema linear resultante.

Passo 2

Calculemos

Passo 3

Calculemos

Passo 4

Igualando AB=BA entrada a entrada, obtemos o sistema
2x+z = 2x+4y, 2y+w = x+3y, 4x+3z = 2z+4w, 4y+3w = z+3w

Passo 5

Resolvendo esse sistema:
Da primeira e da quarta equações vem
z = 4y
Da segunda e da terceira equações vem
w = x + y
As variáveis x e y ficam livres em R. Portanto
B = x & y 4y & x+y , x,yinR

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são
x & y 4y & x+y , x,yinR

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