Decomposição em frações parciais Nos Exercícios 63 e 64, use um sistema de equações para encontrar a decomposição em frações parciais da expressão racional. Resolva o sistema usando matrizes.
8 x^2(x-1)^2(x+1)=Ax+1+Bx-1+C(x-1)^2

Passo 1

O problema pede a decomposição em frações parciais da função racional
8x^2(x-1)^2(x+1) = Ax+1+Bx-1+C(x-1)^2
Para encontrar A, B e C vamos usar o método de coeficientes indeterminados, que consiste em:
  1. Multiplicar ambos os lados pelo denominador comum (x-1)^2(x+1).
  2. Igualar os polinômios obtidos e comparar coeficientes de x^2, x e termo independente.
  3. Montar um sistema linear para A, B e C e resolver usando matriz.

Passo 2

Multiplicando por (x-1)^2(x+1) obtemos a identidade em x:
8x^2 = A,(x-1)^2 + B,(x-1)(x+1) + C,(x+1)
Expandindo cada termo:
A(x^2-2x+1)=Ax^2-2Ax+A, B(x^2-1)=Bx^2-B, C(x+1)=Cx+C
Somando,
Ax^2-2Ax+A ;+; Bx^2-B ;+; Cx+C = (A+B)x^2+(-2A+C)x+(A-B+C)
Como isso deve ser igual a 8x^2+0x+0, igualamos coeficientes.

Passo 3

Do passo anterior obtemos o sistema
Em forma matricial:

Passo 4

Resolvendo por eliminação de Gauss ou substituição:
Da segunda equação -2A + C = 0 segue ;C = 2A.
Substituindo em A - B + C = 0
A - B + 2A = 0 ;Longrightarrow; 3A - B = 0 ;Longrightarrow; B = 3A
Na primeira equação A + B = 8:
A + 3A = 8 ;Longrightarrow; 4A = 8 ;Longrightarrow; A = 2
Então B = 3cdot2 = 6 e C = 2cdot2 = 4.

Resposta

8x^2(x-1)^2(x+1) = 2x+1 + 6x-1 + 4(x-1)^2

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