Dados os vetores \vec{u}=(2,1,0), \vec{v}=(1,-1,3) e \vec{w}=(0,4,-1). Calcule [u, v, w].

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(2,1,0), \vec v=(1,-1,3) e \vec w=(0,4,-1) em \mathbb R^3 e pede o produto misto
[\vec u,\vec v,\vec w]=\vec u\cdot(\vec v\times\vec w).
Para resolver, vamos primeiro calcular o produto vetorial \vec v\times\vec w e depois fazer o produto escalar com \vec u.

Passo 2

Calculemos \vec v\times\vec w pela regra de Sarrus (determinante 3\times 3):
\vec v\times\vec w =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & -1 & 3\\\\ 0 & 4 & -1 \end{vmatrix} =\mathbf i\bigl((-1)(-1)-3\cdot4\bigr) -\mathbf j\bigl(1\cdot(-1)-3\cdot0\bigr) +\mathbf k\bigl(1\cdot4-(-1)\cdot0\bigr)
=(1-12,\,-(-1),\,4) =(-11,\,1,\,4).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec u com esse resultado:
\vec u\cdot(\vec v\times\vec w) =(2,1,0)\cdot(-11,1,4) =2\cdot(-11)+1\cdot1+0\cdot4 =-22+1 =-21.

Resposta

-21

Exercícios relacionados