Dados os vetores \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,2,2). Calcule a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de \vec u=(2,-1,3) sobre \vec v=(1,2,2). O conteúdo é projeção de vetores em \mathbb R^3, que exige calcular produto escalar e norma ao quadrado, e usar a fórmula
\mathrm{proj}_{\vec v}(\vec u)=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\,\vec v

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec u\cdot\vec v. Temos
\vec u\cdot\vec v = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 3\cdot2 = 2 - 2 + 6 = 6.

Passo 3

Calcular a norma ao quadrado de \vec v, isto é \vec v\cdot\vec v. Obtemos
\vec v\cdot\vec v = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9.

Passo 4

Aplicar a fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\vec v}(\vec u) = \frac{\vec u\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\,\vec v = \frac{6}{9}\,(1,2,2) = \frac{2}{3}\,(1,2,2) = \Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{4}{3}\Bigr).

Resposta

A projeção ortogonal de \vec u sobre \vec v é \bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{4}{3},\,\tfrac{4}{3}\bigr).

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