Uma garrafa de vidro contém uma certa quantidade de álcool em seu interior. Sabendo que os coeficientes de expansão volumétricos do álcool e do vidro são, respectivamente, \beta_{\text {álcool }}=1,0 \times 10^{-3}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} \mathrm{e}á \beta_{\text {vidro }}=1,0 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, discuta ( a ) o que acontece com o volume que o álcool ocupa no recipiente se a temperatura ambiente aumenta? (b) E o que acontece se temperatura ambiente diminui? Suponha agora que a temperatura ambiente é 0{ }^{\circ} \mathrm{C}, e que o recipiente tem 1 litro e está cheio de álcool até a boca. (c) Determine quanto álcool transborda se a temperatura aumentar até 25^{\circ} \mathrm{Ce}(d) qual fração do recipiente é ocupada por álcool se posteriormente se a temperatura voltar a 0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado trata de expansão volumétrica de dois corpos: o álcool (coeficiente \beta_{\text{álcool}}=1,0\times10^{-3}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}á) e o vidro (coeficiente \beta_{\text{vidro}}=1,0\times10^{-5}\,^{\circ}\mathrm{C}^{-1}). A garrafa tem volume inicial V_0=1{,}0\text{ L} a 0\,^{\circ}\mathrm{C} e está completamente cheia de álcool. Vamos usar a fórmula genérica de expansão volumétrica
\Delta V = V_0\,\beta\,\Delta T
para cada material, comparar os dois e responder (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

A variação de volume do álcool ao mudar a temperatura em \Delta T é
\Delta V_{\text{álcool}} = V_0\,\beta_{\text{álcool}}\,\Delta Táá
e a do vidro é
\Delta V_{\text{vidro}} = V_0\,\beta_{\text{vidro}}\,\Delta T.
O transbordo líquido (ou espaço livre) vem da diferença
\Delta V_{\text{net}} = \Delta V_{\text{álcool}} - \Delta V_{\text{vidro}}.á

Passo 3

(a) Se a temperatura ambiente aumenta ( \Delta T>0), então \Delta V_{\text{álcool}}>\Delta V_{\text{vidro}}á porque \beta_{\text{álcool}}\gg\beta_{\text{vidro}}á. Logo \Delta V_{\text{net}}>0 e o álcool transborda.
(b) Se a temperatura ambiente diminui ( \Delta T<0), então \Delta V_{\text{álcool}}<\Delta V_{\text{vidro}}á (ambos negativos, mas o do álcool é mais negativo), logo \Delta V_{\text{net}}<0 e surge um vão livre dentro da garrafa.

Passo 4

Para (c), com \Delta T=25\,^{\circ}\mathrm{C} e V_0=1{,}0\text{ L}:
\Delta V_{\text{transbordo}} =V_0\bigl(\beta_{\text{álcool}}-\beta_{\text{vidro}}\bigr)\Delta T =1{,}0\bigl(1{,}0\times10^{-3}-1{,}0\times10^{-5}\bigr)\times25 =0{,}02475\text{ L}\approx24{,}75\text{ mL}.á

Passo 5

Para (d), no instante a 25\,^{\circ}\mathrm{C} a garrafa tem volume
V_{\text{garrafa,25}} =V_0\bigl(1+\beta_{\text{vidro}}\Delta T\bigr) =1{,}0\bigl(1+1{,}0\times10^{-5}\times25\bigr) =1{,}00025\text{ L},
que é também o volume de álcool que resta na garrafa. Ao resfriar de volta a 0\,^{\circ}\mathrm{C}, esse álcool contrai-se segundo
V_{\text{álcool,0}} =V_{\text{garrafa,25}}\bigl(1-\beta_{\text{álcool}}\Delta T\bigr) =1{,}00025\,(1-0{,}001\times25) =0{,}97524375\text{ L}.áá
Como a garrafa volta a ter 1{,}0\text{ L}, a fração ocupada é
\frac{V_{\text{álcool,0}}}{1{,}0\text{ L}}\approx0{,}97524\quad(\text{ou }97{,}5\%).á

Resposta

(a) Ao aquecer, o álcool expande-se mais que o vidro, gerando transbordo.
(b) Ao esfriar, o álcool encolhe mais que o vidro, criando um vão livre.
(c) \displaystyle0{,}02475\text{ L} ( \approx 24,75 mL) transbordam.
(d) Após voltar a 0\,^{\circ}\mathrm{C}, o álcool ocupa cerca de 0,97524 ( \approx 97,5 %) do volume da garrafa.

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