A probabilidade de um pequeno aeroporto fechar em dia de chuva é de 0,25 . Sabe-se que o aeroporto estiver fechado a probabilidade de ser por ocasião de chuva é de 0,9 . Considerando que chove em \frac{1}{5} dos dias, na localidade do aeroporto, determine a probabilidade de o aeroporto estar fechado em um dia qualquer.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O que o problema pede: determinar a probabilidade de o aeroporto estar fechado em um dia qualquer, ou seja, calcular P(F), onde F é o evento “aeroporto fechado”.
  • Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
    • A probabilidade do aeroporto fechar em dia de chuva é P(F\mid C)=0,25, onde C é o evento “chover”.
    • Sabe‑se que, dado que o aeroporto está fechado, a probabilidade de ter sido por ocasião de chuva é P(C\mid F)=0,9.
    • A probabilidade de chover em um dia qualquer é P\text{(C)}=\dfrac{1}{5}=0,2.
Nada mais é dado. O objetivo é achar P(F) usando essas informações.

Passo 2

Relembrando o conceito que precisamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
  • Definição de probabilidade condicional: para dois eventos A e B com P(B)>0,
    P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
    Isso significa que a probabilidade de A ocorrendo sabendo que B ocorreu é a probabilidade dos dois ocorrerem dividida pela probabilidade de B.
  • Fórmula de Bayes (forma que vamos usar): para P(F)>0 e P\text{(C)}>0,
    P(C\mid F)=\frac{P(F\mid C)\,P\text{(C)}}{P(F)}.
    Essa fórmula vem diretamente da definição de probabilidade condicional, escrevendo P(C\mid F)=\dfrac{P(C\cap F)}{P(F)} e notando que P(C\cap F)=P(F\mid C)P\text{(C)}.
Vou usar essa forma porque no enunciado temos P(C\mid F), P(F\mid C) e P\text{(C)} e queremos P(F). Ou seja, é a ferramenta ideal.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bayes e isolando P(F).
Partindo de
P(C\mid F)=\frac{P(F\mid C)\,P\text{(C)}}{P(F)},
isolamos P(F) multiplicando ambos os lados por P(F) e dividindo por P(C\mid F):
P(F)=\frac{P(F\mid C)\,P\text{(C)}}{P(C\mid F)}.
Isso é apenas álgebra elementar: multiplicar e dividir para deixar P(F) sozinho.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos que o enunciado deu (peguei-os do enunciado):
  • P(F\mid C)=0,25
  • P\text{(C)}=0,2
  • P(C\mid F)=0,9
Então
P(F)=\frac{0,25\cdot 0,2}{0,9}.
Faço a conta passo a passo, de forma que dê para fazer sem calculadora:
  • Primeiro o produto no numerador: 0,25\cdot 0,2 = \frac{25}{100}\cdot\frac{2}{10} = \frac{25\cdot 2}{100\cdot 10} = \frac{50}{1000} = 0,05.
  • Agora dividir por 0,9: P(F)=\frac{0,05}{0,9}.Escrevendo frações em termos racionais: 0,05=\dfrac{1}{20} e 0,9=\dfrac{9}{10}. Assim P(F)=\frac{1/20}{9/10}=\frac{1}{20}\cdot\frac{10}{9}=\frac{10}{180}=\frac{1}{18}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida (sanity check).
  • Em decimal, \dfrac{1}{18}=0,055555\ldots, arredondando para quatro casas decimais: 0,0556.
  • Em porcentagem, isso é aproximadamente 5,56\%.
  • Verificação rápida: se P(F)=\dfrac{1}{18} então P(C\mid F)=\frac{P(F\mid C)P\text{(C)}}{P(F)}=\frac{0,25\cdot 0,2}{1/18}=\frac{0,05}{1/18}=0,05\cdot 18=0,9,que coincide com o dado P(C\mid F)=0,9. Logo o resultado é consistente.

Resposta

\dfrac{1}{18}\approx0,0556

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