A probabilidade de um pequeno aeroporto fechar em dia de chuva é de 0,25 . Sabe-se que o aeroporto estiver fechado a probabilidade de ser por ocasião de chuva é de 0,9 . Considerando que chove em
dos dias, na localidade do aeroporto, determine a probabilidade de o aeroporto estar fechado em um dia qualquer.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O que o problema pede: determinar a probabilidade de o aeroporto estar fechado em um dia qualquer, ou seja, calcular
, onde é o evento “aeroporto fechado”. - Informações fornecidas (peguei diretamente do enunciado):
- A probabilidade do aeroporto fechar em dia de chuva é
, onde é o evento “chover”. - Sabe‑se que, dado que o aeroporto está fechado, a probabilidade de ter sido por ocasião de chuva é
. - A probabilidade de chover em um dia qualquer é
.
- A probabilidade do aeroporto fechar em dia de chuva é
Nada mais é dado. O objetivo é achar
usando essas informações.
Passo 2
Relembrando o conceito que precisamos usar (explicação didática e sem pular etapas).
-
Definição de probabilidade condicional: para dois eventos
e com , Isso significa que a probabilidade deocorrendo sabendo que ocorreu é a probabilidade dos dois ocorrerem dividida pela probabilidade de . -
Fórmula de Bayes (forma que vamos usar): para
e , Essa fórmula vem diretamente da definição de probabilidade condicional, escrevendoe notando que .
Vou usar essa forma porque no enunciado temos
,
e
e queremos
. Ou seja, é a ferramenta ideal.
Passo 3
Aplicando a fórmula de Bayes e isolando
.
Partindo de
isolamos
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
:
Isso é apenas álgebra elementar: multiplicar e dividir para deixar
sozinho.
Passo 4
Substituindo os valores numéricos que o enunciado deu (peguei-os do enunciado):
Então
Faço a conta passo a passo, de forma que dê para fazer sem calculadora:
- Primeiro o produto no numerador:
- Agora dividir por
: Escrevendo frações em termos racionais: e . Assim
Passo 5
Interpretação e verificação rápida (sanity check).
- Em decimal,
, arredondando para quatro casas decimais: . - Em porcentagem, isso é aproximadamente
. - Verificação rápida: se
então que coincide com o dado . Logo o resultado é consistente.